1、广东省深圳市宝安中学2020届高三数学下学期2月月考试题 理（含解析）一、单选题（每题5分）1.已知复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出复数为纯虚数a的取值范围，即可得解.【详解】复数为纯虚数，则，且，解得，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确求出复数为纯虚数a的取值范围.2.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解【详解】解：故选：【点睛】本题考查
2、复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3.设向量，若,则( )A. B. C. -1D. -3【答案】D【解析】分析：利用，即可求出 ，再利用两角和的正切公式即可得出详解：， ，即 故选B点睛：利用，以及合理运用两角和的正切公式是解题的关键4.黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，根据这些信息，可得=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求出，再由诱导公式可得结果.【详解】由正弦定理得，即，得，
3、则，故选C【点睛】本题主要考查正弦定理以及诱导公式的应用，属于中档题.5.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将个函数自变量代入,参变分离得,再利用导数求右边的最小值后再解不等式即可.【详解】依据题意得在上恒成立,即在上恒成立。令,递增,当时,函数取得最小值,所以,即,解得或,故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数参变分离求最值的方法求解恒成立的问题,属于中等题型.6.已知实数满足若恒成立，那么的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据的图象是过点，斜率为的直线，结合图
4、象，即可求解.【详解】由题意,实数满足，即，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数的图象是过点，斜率为的直线，要使得不等式恒成立，即恒成立，结合图象可知，当直线过点时，斜率取得最小值 ，所以实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.7.已知0x2，0y2，且M+则M的最小值为（）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】先根据两点间距离公式化为动点到四个定点的距离和，再根据图象确定最小值取法，即得结果.
5、 【详解】解：根据题意，可知表示点（x，y）与点A（，0）的距离；表示点（x，y）与点B（0，）的距离；表示点（x，y）与点C（，2）的距离；表示点（x，y）与点D（2，）的距离.M表示点（x，y）到A、B、C、D四个点的距离和的最小值.则可画图如下：的最小值是点（x，y）在线段AC上，同理，最小值是点（x，y）在线段BD上，点（x，y）既在线段AC上，又在线段BD上，点（x，y）即为图中点P.M的最小值为|AC|+|BD|4.故选：D.【点睛】本题考查两点间距离公式以及利用数形结合求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.8.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐
6、近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3C. D. 4【答案】B【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是
7、有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.9.已知函数在区间上单调，且，则的最大值为（ ）A. 7B. 9C. 11D. 13【答案】B【解析】【分析】根据函数在区间上单调，得，解得，又由，则，得到解得，代入验证，即可求解【详解】由题意，函数在区间上单调，则，解得，所，即，又由，则，即，解得，当时，此时，则，又由，即，解得，
8、即，此时函数在区间上不单调，不满足题意.当当时，此时，则，又由，即，解得，即，此时函数在区间上是单调函数，满足题意，所以的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理列出关于周期的不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题10.已知数列满足：，.若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时；当时，因此，选D.考点：等比数列定义，数列单调性【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据的
9、符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件11.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意设，则求导函数分析的正负，得函数在上的单调性，再根据的奇偶性，得 的奇偶性，将所求解的不等式转化为，根据分析出的单调性和奇偶性可得不等式的解集.【详解】根据题意设，则，又当时，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式
10、的解集为，故选：B.【点睛】本题以函数和导函数为背景,考查函数的导数与函数单调性的关系,考查逻辑思维、转化与化归思想.创新意识.推理运算能力,考查逻辑推理，数学抽象.数学运算素养.12.如图，点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线定义可得，的周长，得到答案.【详解】抛物线的准线：，焦点，根据抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，故选：A.【点睛】本题考查了三角形周长的取值范围，确定的周长是解题的关键.二、填空题（每题5分）13.在展开
11、式中，的系数为_【答案】60【解析】, 而在中 ， ，则 ，的系数为60.14.若数列是正项数列，且，则_.【答案】【解析】令，得，所以当时，与已知式相减，得，所以，时，适合所以，所以，15.在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_【答案】【解析】【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，由可得，故答案为.【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差
12、）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便16.在内切圆圆心为的中，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为_【答案】【解析】画出图象如下图所示.由于,所以平面,所以三点共线.以分别为轴建立平面直角坐标系,则,设直线的方程为,则直线的方程为.令求得,而.联立解得.由点到直线的距离公式可计算得,所以.即最小值为.【点睛】本小题主要考查空间点线面的位置关系,考查线面垂直的证明,考查三点共线的证明,考查利用坐标法解决有关线
13、段长度比值的问题,是一个综合性很强的题目.首先考虑折叠问题,折叠后根据线线垂直关系推出三点共线,将问题转化为平面问题来解决,设好坐标系后写出直线的方程即直线的方程,根据点到直线距离公式写出比值并求出最值.三、解答题：共70分.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理处理，即可得出答案（2）展开，结合，和第一问计算出的角B的大小，即可得出A的值，结合正弦定理，代入，即可【详解】（1）角的对边分别为，且，由正弦定理得：， ，.（2），由正弦定理得：，.【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大1
14、8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD平面ABCD，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点（）求证：平面平面PBC；（）设二面角的平面角为，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见证明；（） 【解析】【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（）先证明，两两垂直，再以为原点，以，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，用表示出平面的法向量，进而表示出，由，即可得出结果.【详解】解：（） 四边形是正方形，.平面 平面平面平面，平面.平面，. ，点为线段的中点，.又，平面.又平面，平面 平
15、面. （）由（）知平面，平面.在平面内过作交于点，故，两两垂直，以为原点，以，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.因为，.平面， 则，又为的中点， 假设在线段上存在这样的点，使得,设，设平面的法向量为， 则，令，则，则 平面，平面的一个法向量,则.，解得，【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型.19.已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.（1）求曲线的轨迹方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐
16、标；（3）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）设两动圆的公共点为，由椭圆定义得出曲线是椭圆，并得出、的值，即可得出曲线的方程；（2）求出点，设点，对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，设直线的方程为，并将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合条件并代入韦达定理求出的值，可得出直线所过点的坐标，在直线的斜率不存在时，可得出直线的方程为，结合这两种情况得出直线所过定点坐标；（3）利用韦达定理求出面积关于的表达式，换元，然后利用基本不等式求出的最大值.【详解】（1）设两动圆的公共点为，则有：由椭圆定义可知的轨迹为椭圆，所以曲线的方程是：；（
17、2）由题意可知：，设，当的斜率存在时，设直线，联立方程组：，把代入有：， ，因为，所以有，把代入整理：，（有公因式）继续化简得：，或（舍），当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点，综上，直线恒过定点；（3）面积，由第（2）小题的代入，整理得：，因在椭圆内部，所以，可设， ，（时取到最大值）所以面积的最大值为【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，考查直线过定点问题以及三角形面积问题，对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求解，难点在于计算量，易出错.20.近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困
18、县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村
19、民的人数为,求的分布列及数学期望参考公式：其中临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参考数据：【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别求出，从而，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：依题意：故则，故管理时间与土地使用面积线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理
20、不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故故的分布列为X0123P则数学期望为（或由，得【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等21.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（）求的值;（）若时,求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义
21、可知,从而可求得的值（2） 由（1）知，,令,即证时先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值使其最小值大于等于0即可试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，设函数，由题设可得，即，令得, （6分）若，则，当时，当时，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而当时，即恒成立 （8分）若，则，当时，在单调递增，而，当时，即恒成立，若，则，当时，不可能恒成立 （10分）综上所述，的取值范围为（12分）考点：用导数研究函数的性质（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.22.已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为.()写出
22、直线l的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；()设l与圆相交于两点，求点到两点的距离之积【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（）利用可求出直线的参数方程，可利用将极坐标方程转化为直角坐标方程；（）将直线的参数方程代入圆的方程，整理可得，由参数的几何意义，可得.试题解析：（）直线的参数方程为，即（为参数） 2分由，得，所以， 4分得，即 5分（）把代入，得， 8分 10分考点：1、直线的参数方程；2、极坐标方程化为直角坐标方程；3、参数的几何意义.23.已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，即故不等式的解集为（2）当时成立等价于当时成立若，则当时；若，的解集为，所以，故综上，的取值范围为点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
