1、3.3.3函数的最大(小)值与导数内容标准学科素养1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2.会求某闭区间上函数的最值.利用直观抽象提升数学运算和逻辑推理授课提示：对应学生用书第68页基础认识知识点一函数f(x)在闭区间a，b上的最值极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果x0是f(x)的极大(小)值点，那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(或更小)的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小如何求函数的最值呢？如图为yf(x)，xa，b的图象(1)观察a，b上函数yf(x)的图象，
2、试找出它的极大值、极小值(2)结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？(3)函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？提示：(1)极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)(2)存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)(3)不一定，也可能是区间端点的函数值 知识梳理函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得知识点二求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤知识梳理(1)求函数yf(
3、x)在(a，b)内的极值(2)求函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象求函数f(x)的极大(小)值，最大(小)值在什么位置取到？提示：显然f(x1)，f(x3)，f(x
4、5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得 自我检测1函数f(x)exx在区间1,1上的最大值是()A1B1Ce1 De1答案：C2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值答案：D授课提示：对应学生用书第69页探究一求函数的最值阅读教材P97例5求函数f(x)x34x4在0,3上的最大值与最小值题型：利用导数求函数的最值方法步骤：先求导求函数在(0,3)上的极值将函数的极值和端点处的函数值比较，得出最大值与最
5、小值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)x33x，x，3；(2)f(x)x2(x0)解析(1)f(x)33x23(1x)(1x)令f(x)0，得x1或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)0极小值极大值18所以x1和x1是函数在，3上的两个极点，且f(1)2，f(1)2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f()0，f(3)18.所以f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2x.令f(x)0得x3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,0)f(x)0f(x)极小值所以x3时，f(x)
6、取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(3)27，无最大值方法技巧1.求函数的最值，显然求极值是关键的一步若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得：(1)求出导数为零的点(2)比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值2若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得跟踪探究1.求下列各函数的最值：(1)f(x)2x36x23，x2,4；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解析：(1)f(x)6x212x6x(x2)令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x2(2,0)0(0,2)2(2,4)4f(x)00f(x)37
7、极大值3极小值535当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37，即f(x)的最大值为35，最小值为37.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)min12；x1时，f(x)max2；即f(x)的最小值为12，最大值为2.探究二含参数的函数的最值问题例2已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解析(1)f(x)3x26x93(x1)(x3)令f(x)0，得x3，故函数f(x)的单调递减区间为(，
8、1)，(3，)(2)因为f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2)因为在1,3上f(x)0，所以f(x)在1,2上单调递增，所以f(1)是f(x)的最小值，且f(1)a5，所以f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2.所以f(1)257，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.例3已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解析(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，
9、k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k0)，求f(x)在0，)内的最小值解析：f(x)aex，令f(x)0，得xln a.当xln
10、a时，f(x)0；当xln a时，f(x)0.当0a0，所以f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，从而f(x)在0，)内的最小值为f(ln a)2b；当a1时，ln a0，所以f(x)在0，)上单调递增，从而f(x)在0，)内的最小值为f(0)ab.探究三函数最值的应用教材P99习题3.3B组1(4)题证明不等式ln xx0)证明：令f(x)ln xx(x0)，g(x)xex(x0)，f(x)1，g(x)1ex，令f(x)0，g(x)0，得x1，x0，当0x0，x1时f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x)f(1)10，ln x0时
11、g(x)0，g(x)在(0，)是减函数，g(x)g(0)10，x0时，ln xxex.例4已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围解析(1)已知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)minf.(2)2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，x(0,1)，h(x)0，h(x)单调递增；所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即a的取值
12、范围是(，4方法技巧1.利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式转化成f(x)0(或0)的形式；(2)利用导数求出函数yf(x)在所给区间上的最小值(或最大值)；(3)证明函数yf(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立2不等式恒成立求参数问题的求解策略对于根据不等式恒成立求参数的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成mf(x)或mf(x)的形式，然后利用导数求出函数f(x)的最值，则由结论mf(x)max或mf(x)min，即可求出参数m的取值范围跟踪探究3.设f(x)x2ln x.求证：当x1时，f(x)0恒成立证明：f(x)x2ln x的定
13、义域为(0，)，f(x)10，f(x)在1，)上单调递增，f(x)f(1)112ln 10对于x1，)恒成立4设函数f(x)xexx2.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)当x0时，f(x)x2x2恒成立，求a的取值范围解析：(1)a1，f(x)xexx2xexx2x2，f(x)(ex1)(x1)，当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，f(x)在(1,0)上单调递减，在(，1)，(0，)上单调递增(2)由f(x)x2x2，得x0，当x0时，显然成立；当x0时，即恒成立记g(x)，则g(x)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)是增函数g(x)的最小值为g(1)e，e，得
14、a2e2.即a的取值范围是(，2e2授课提示：对应学生用书第70页课后小结(1)求函数的最值时，应注意以下几点：函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念闭区间a，b上的连续函数一定有最值开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)(2)求含参数的函数最值，可分类讨论求解(3)“恒成立”问题可转化为函数最值问题素养培优1把极值当做最值致误已知
15、函数f(x)x3ax2bx5，在x2和x处取得极值(1)求函数f(x)的解析式(2)求函数f(x)在4,1上的最值易错分析没有比较端点函数值与极值的大小，错误地认为极值就是最值考查逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正(1)因为f(x)x3ax2bx5，所以f(x)3x22axb，因为在x2和x处取得极值，所以解得a2，b4.所以f(x)x32x24x5.(2)因为f(x)3x24x4，所以由f(x)0，解得x2或x，所以f(x)在4，2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增因为f(4)11，f(2)13，f，f(1)4，所以f(x)maxf(2)13，f(x)minf(4)11.2忽视定义域
16、致误求函数g(x)ex2axb在0,1上的最小值易错分析由g(x)ex2a0得xln(2a)所以g(x)在(，ln(2a)上是减函数，在(ln(2a)，)上是增函数，从而g(x)的最小值为g(ln(2a)2a2aln(2a)b，忽视了定义域0,1致误，考查数学运算及逻辑推理的学科素养自我纠正g(x)ex2a，x0,1，ex1，e，所以(1)a时2a1，g(x)0，g(x)在0,1上是增函数，g(x)ming(0)1b.(2)若a，则12ae，当0xln(2a)时g(x)0；当ln(2a)x0，所以g(x)在0，ln(2a)上是减函数，在ln(2a)，1上是增函数，g(x)mingln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a则2ae，g(x)0，所以g(x)在0,1上是减函数，g(x)ming(1)e2ab.
