1、期中考试押题卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效4测试范围：选择性必修第一册5考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1空间四边形OABC中，且，则（）ABCD【答案】A【解析】，故选：A.2已知直
2、线，当变化时，所有直线都恒过点（）ABCD【答案】D【解析】可化为，直线过定点，故选：D.3抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（）ABC或D或【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，则，或-16故所求抛物线方程为或故选：D4若两条直线与平行，则与间的距离是（）ABCD【答案】D【解析】因为与平行，故，故，所以，此时与平行，又与之间的距离为，故选：D.5在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（）ABCD【答案】A【解析】由题意，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，可得，则，所以.故选：A.6已知A，B，C是椭圆上不同的三点，且原点O是ABC的
3、重心，若点C的坐标为，直线AB的斜率为，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】B【解析】设的中点，因为原点O是ABC的重心，所以三点共线，所以，由于，所以，故选：B.7已知圆O：，过直线l：在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（）ABCD2【答案】B【解析】设，则 设，当时， ，故,所以切线方程为：,而化解得切线方程为，同理将的坐标代入上述直线方程，则有，于是直线的方程为,因此的面积为.当且仅当，即 时取等号.所以面积的最小值为.故选：B.8阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭
4、圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（）ABCD【答案】C【解析】设，则有，两式作差得：，即，弦中点坐标为，则，又，又，可解得，故椭圆的面积为.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9如图，在长方体中，以直线，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（）A点的坐标为，5，B点关于点对称的点为，8，C点关于直线对称的点为，5，D点关于平面对称的点为，5，【答案】ACD【解析】对A，由图可得，的坐标为，5，
5、故A正确；对B，由图，设点关于点对称的点为则 ，解得，故，故B错误；对C，在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确；对D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，选项D正确；故选：ACD.10已知圆：和圆：则（）A两圆相交B公共弦长为C两圆相离D公切线长【答案】AB【解析】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为 圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为 所以两圆心的距离：，两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L，则有：，选项B正确，选项D错误.故选：AB11如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，
6、下列说法中不正确的是（）AB平面C向量与的夹角是60D直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于，所以，选项错误；对于，所以，即，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；对于，所以，同理，可得，所以，所以选项正确故选：AC12已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（）A双曲线C的离心率为2B当P在双曲线左支时，的最大值为C点P到两渐近线距离之积为定值D双曲线C的渐近线方程为【答案】AC【解析】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；对于B，当P在双
7、曲线的左支上时，故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.故选：AC.第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，则_【答案】1【解析】由题意，解得故故答案为：114若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】对于直线，则直线是过点且斜率为的直线，对于曲线，则，曲线的方程两边平方并整理得，则曲线为圆的右半圆，如下图所示：当直线与曲线相切时，且有，解得，当直线过点时，则有，解得,当直线过点时，则有，解得,结合图象可知，当时，直线与曲线有一个交点.故答案为：.15已
8、知A（1，0），B（1，2），直线l：2xaya0上存在点P，满足|PA|+|PB|，则实数a的取值范围是 _【答案】【解析】因为，且，由图可知，点P的轨迹为线段AB， 将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得a2，a，由直线l的方程可化为：2xa（y+1）0，所以直线l过定点C（0，1），画出图形，如图所示：因为直线AC的斜率为kAC1，直线BC的斜率为kBC3，当时，符合题意；当时，所以直线l的斜率为k，令，解得a2且；所以a的取值范围是，2故答案为：，216已知圆，点是圆上一动点，若在圆上存在点，使得，则正数的最大值为_.【答案】【解析】要使最大，考虑点在圆外，若在圆上存在点，使得，当
9、直线与圆相切时，有最大值，即，则满足，又点是圆上一动点，由图可知，圆与圆内切，即，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（10分）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且(1)试用，表示向量；(2)若，求的值【解析】（1），又（2）由（1）可得知18（12分）已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上(1)求圆C的标准方程(2)若直线PQ的端点P的坐标是，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程【解析】（1）线段的中点的坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，由解得，所以，,所以圆的标
10、准方程为.（2）设，由于是线段的中点，所以，将点的坐标代入原的方程得，整理得点的轨迹方程为：.19（12分）过双曲线的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为左焦点(1)求；(2)求AOB的面积；(3)求证：【解析】（1）由双曲线的方程得，直线的方程为设，由得，（2）直线AB的方程变形为，原点O到直线AB的距离为，（3）证明：由双曲线的定义得，整理得：20（12分）已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角(1)若与关于直线对称，求和的倾斜角(2)若都不过点，过分别作为垂足，当的面积最大时求的方程【解析】（1）直线的倾斜角为60，关于直线对称，且，与直线的夹角均
11、为，的倾斜角分别为和（2），四边形为矩形设，则，当且仅当时取等号若的斜率不存在，则的倾斜角为，由直线相互垂直可得的倾斜角为0，与已知矛盾，所以的斜率存在，设，则点到的距离为，令，得（负值舍去）当的面积最大时，的方程为21（12分）在平面；为的中点这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.(1)若_，求二面角的大小；(2)在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由.注：如过选择多个条件分刟解答，拉第一个解答计分.【解析】（1）若选：平面，连接交于点，连接，因为为正方形
12、，所以点分别为与的中点，由题意，所以，同理，且，平面所以平面.以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，所以，所以.所以，二面角的大小为.若选：为的中点，连接交于点，连接，因为为正方形，所以点分别为与的中点，由题意，所以，同理，且，平面所以平面.以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，则，设平面的法向量为，由 解得平面的法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，所以，所以所以二面角的大小为（2）选由（1）知，设，所以，因为平面的一个法向量为，且平面，所
13、以，所以，解得，即点为线段的三等分点且靠进点.所以,存在点为线段的三等分点且靠进点使得平面选由（1）知，设，所以，因为平面的法向量为，且.平面，所以，所以，解得，此时点与点重合.所以, 存在点与点重合,使得平面.22（12分）设椭圆，抛物线的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，并且经过点，过的焦点F作直线l，与交于A，B两点，(1)求的标准方程；(2)设M是准线上一点，直线MF的斜率为，MA、MB的斜率依次为、，请探究：与的关系；(3)若l与交于C，D两点，为的左焦点，求的最小值【解析】(1)根据题意，设抛物线方程为，又其过点，故可得，解得，故抛物线的方程为：.(2)根据（1）中所求可得，点的坐标为，的准线方程为，故可设的坐标为，又直线的斜率不为零，故设其方程为，联立抛物线方程可得：，设坐标为，故可得；因为；又，则.(3)由（2）中所求可得：；联立直线方程与椭圆方程可得：，设的坐标为，故可得，则；又因为四点共线，故，当且仅当时取得等号.即的最小值为.
