1、数 学 （B）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（ ）A30B60C120D150【
2、答案】B2已知空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）AABDBABCCBCDDACD【答案】A3已知空间中非零向量，且，则的值为（ ）AB97CD61【答案】C4已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（ ）A5B14CD【答案】C5已知，若三向量共面，则实数等于（ ）A2B3C4D5【答案】C6如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）ABCD【答案】A7长方体，点在长方体的侧面上运动，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）ABCD【答案】B8如图，在三棱锥中，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
3、ABCD【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列说法不正确的是（ ）A若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于30B两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C二面角的大小范围是D二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小【答案】ABD10设是空间的一个基底，若，给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）ABCD【答案】BCD11在长方体中，分别为棱的中点，则正确的选项是（ ）A异面直线与所成角的大小为60B异面直线与所成角的大小为90C
4、点到平面的距离为D点到平面的距离为【答案】BC12已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）A与是异面直线B与所成角的大小为C与平面所成角的余弦值为D二面角的余弦值为【答案】AD第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知点，则在上的投影向量的长度为_【答案】14已知，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）_【答案】15如图，在直三棱柱中，点分别是的中点，点是上的动点若，则线段长度为_【答案】16在棱长为的正方体中，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，_；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为_【答案】，四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出
5、文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心（1）求证：；（2）化简：【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），+得（2）因为，所以18（12分）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，是的中点利用空间向量解决下列问题：（1）求与所成的角；（2）求与所成角的余弦值；（3）求两点间的距离【答案】（1）；（2）；（3）【解析】如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，（1）因为，所以，所以，故，即与所成的角为（2）因为，所以，因为，且，所以，即与所成角的余弦值为（3）因为是的中点，所以，又因为，所以，即两点之
6、间的距离为19（12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，分别是棱，的中点，是棱上一点（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）依题意可得，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，在中，是棱的中点，所以，又，平面，平面又平面，平面平面（2）如图，取的中点，连接，则，由（1）知平面，平面，是直线与平面所成角，是棱的中点，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，则；有，令，则，锐二面角的余弦值为20（12分）在长方体中，
7、底面是边长为1的正方形，为棱上的中点（1）若，求的长度；（2）若二面角的余弦值为，求的长度【答案】（1）2；（2）【解析】（1）设，（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设面的法向量为，则，令，得；设面的法向量为，则，令，得，所以，21（12分）已知为等腰直角三角形，分别为和上的点，且，如图1沿EF将折起使平面平面，连接，如图2（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面【答案】（1）；（2）当时，平面【解析】（1）因为平面平面，所以又，所以建立如图1所示的空间直角坐标系，因为为等腰直角三角形，分别为和上的点，且，则，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值
8、为（2）方法一：设，因为，所以设为平面的一个法向量，则，即，因此可取，所以因为平面，所以，即，所以当时，平面方法二：当时，平面证明如下：如图2，在平面内过作交于，连接因为，所以四边形为平行四边形，所以因为，所以，又，所以因为平面，所以平面又因为，平面，所以平面因为，所以平面，因为平面，所以平面22（12分）在平面，平面平面，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，为内的动点（含边界）（1）求点到平面的距离；（2）若_，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三棱锥中，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，两两垂直，又，点到平面的距离为（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为以选条件为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，即，即，不妨令，则；同理可求得平面的法向量，（选条件）因为平面，平面，即，即，又，又平面，是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，令，令，则，在上单调递增，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为选条件，条件结果相同
