1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-课时跟踪检测(二十四)正弦定理和余弦定理的应用一、选择题1.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 802一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2海里B10 3
2、海里C20 3海里D20 2海里3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/hB6 2 km/hC2 34 km/h D10 km/h4(2014四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)m B180(21)mC120(31)mD30(31)m5一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为
3、了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m6(2015厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中a 为最大边，如果 sin2(BC)sin2Bsin2C，则角 A 的取值范围为()高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-A.0，2B.4，2C.6，3D.3，2二、填空题7江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上
4、，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.8.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是_km.9如图，一栋建筑物的高为(3010 3)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别为 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为_ m.10如图，航空
5、测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为_m(取 21.4，31.7)三、解答题11某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 nmile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间12.(2013江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景
6、点 A 处下山至 C处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35.(1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客
7、在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案1选 D 由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.2选 A 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45，解得 BC10 2(海里)3选 B 设 AB 与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin 0.61 35，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v 21102 2122 1102145，解得 v6 2.选 B.4选 C tan 15t
8、an(6045)tan 60tan 451tan 60tan 452 3，BC60tan 6060tan15120(31)(m)，故选 C.5选 A 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100，BC 3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.6选 D 由题意得 sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得 a20.则 cos Ab2c2a22bc0，0A，0A3.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-因此得角 A 的取
9、值范围是3，2.7解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 30 33 3010 3(m)，在MON 中，由余弦定理得，MN90030023010 3 32 30010 3(m)答案：10 38解析：如题图，由题意知 AB2415606，在ABS 中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知BSsin 30 ABsin 45，BSABsin 30sin 45 3 2.答案：3 29解析：如图，在 RtABM 中，AMABsinAMB3010 3sin 15 3010 3sin45303010 36 2420 6 m.又易知MANAMB15，所以MA
10、C301545，又AMC1801560105，从而ACM30.在AMC 中，由正弦定理得 MCsin 45 20 6sin 30，解得 MC40 3.在RtCMD 中，CD40 3sin 6060 m，故通信塔 CD 的高为 60 m.答案：6010解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC 中，BCsin AABsinACB，BC21 00012sin 1510 500(6 2)CDAD，CDBCsinDBC10 500(6 2)22 10 500(31)7 350.高考资源网（）您身边的高考专家
11、版权所有高考资源网-5-故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 65011解析：如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos120，所以 212t210281t22109t12，即 360t290t1000，解得 t23或 t 512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时 AB14，BC6.在ABC 中，根据正弦定理，得BCsinCABABsin 120，所以 sinCAB6 32143 314，即CAB2
12、1.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为 4521.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮12解：(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以sin A 513，sin C45.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 513351213456365.由正弦定理 ABsin C ACsin B，得 AB ACsin Bsin C1 2606365451 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-(2)假设乙出发 t 分钟
13、后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A处 130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，因 0t1 040130，即 0t8，故当 t3537(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理 BCsin A ACsin B，得 BC ACsin Bsin A1 2606365 513500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v 71050 3，解得1 25043 v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内
