1、 考点24 等比数列及其前n项和一、选择题1. （2013新课标高考文科6）设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则（ ）A. B. C. D. 【解题指南】利用等比数列的前n项和公式求解.【解析】选D.方法一：因为等比数列的首项为1，公比为，所以.方法二：，观察四个选项可知选D.2. （2013大纲版全国卷高考文科7）与（2013大纲版全国卷高考理科6）相同已知数列满足（ ）A. B. C. D.【解题指南】由求出数列的公比，再利用等比数列的求和公式确定数列的前项的和.【解析】选C.因为，则，又，所以数列是首项为，公比的等比数列.故3.（2013福建高考理科9）已知等比数列的公比
2、为，记，cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m，则以下结论一定正确的是（）A. 数列为等差数列，公差为 B. 数列为等比数列，公比为 C. 数列为等比数列，公比为 D. 数列为等比数列，公比为 【解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常数.【解析】选C. 4.（2013江西高考理科3）等比数列x，3x+3，6x+6，的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【解题指南】先根据前三项求出x的值，再求第四项.【解析】选A.因为等比数列的前三项为x，3x+3，6x+6，所以，即，解得或.当时，不合题意，舍去.故.此时等比数列的前三项为-
3、3，-6，-12.所以等比数列的首项为-3，公比为2，所以等比数列的第四项为.5.(2013新课标全国高考理科T3)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=() A. B. C. D.【解析】选C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1=二、填空题6.(2013江苏高考数学科T14) 在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为 【解题指南】确定首项与公比,对式子a1+a2+ana1a2an化简,利用单调性进行验证求出最值.【解析】设正项等比数列的首
4、项为，公比为(q0)，则由得，即，解得，代入，式子变为，即，化简得，当，即时，当时经验证时当时，故所求最大正整数的值为12.【答案】127.（2013江西高考文科12）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（nN*）等于 .【解题指南】转化为等比数列前n项和的问题.【解析】记第n天植树的棵树为，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，解得n=6.【答案】68.（2013北京高考文科11）与（2013北京高考理科10）相同若等比数列an满足a2a4=20，a3a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= .【解题指南】把a2a4=20，
5、a3a5=40作比可求出公比，再代回求出首项，最后求前n项和。【解析】，。【答案】2 9. （2013广东高考文科11）设数列是首项为，公比为的等比数列，则 【解析】由题意知，得.【答案】15.10. （2013辽宁高考文科14）与（2013辽宁高考理科14）相同已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.【解题指南】利用方程求得a1,a3的值,结合等比数列,求出基本量(首项和公比),进而解决求和问题.【解析】因为方程x2-5x+4=0的根为1,4,而等比数列an是递增数列,所以a1=1,a3=4.由等比数列的通项公式得,a3=a1
6、q2=q2=4q=2.又因为等比数列an是递增数列,故q=2.从而【答案】三、解答题11. （2013四川高考理科16）在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和【解题指南】本题在求解过程中，首先要分析清楚数列中有特点的项，即等差数列中为和的等比中项，设出公差，利用方程的思想求解.【解析】设该数列公差为d,前n项和为Sn,由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列an的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列的前n项和Sn=4n或Sn=.12.
7、（2013四川高考文科16）在等比数列中，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和。【解题指南】本题在求解过程中，首先需要明确等比数列中为和的等差中项，然后设出公比，利用方程的思想进行求解.【解析】设该数列的公比为，由已知可得，所以，解得或，由于，因此不合题意，应舍去.故公比，首项，所以数列的前项和.13. （2013天津高考文科19）已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. () 求数列的通项公式; () 证明. 【解题指南】() 由成等差数列求等比数列的公比，然后写出其通项公式；() 写出等比数列的前n项和为，表示，分n为奇数或偶数讨论起最大值，进而得出证明.【解析】() 设
8、等比数列的公比为，由成等差数列，所以，可得于是又所以等比数列的通项公式为()当n为奇数时，随n的增大而减小，所以当n为偶数时，随n的增大而减小，所以故对于，有14.(2013天津高考理科T19)已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设,求数列Tn的最大项的值与最小项的值.【解题指南】(1)由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列求等比数列an的公比,然后写出其通项公式.(2)写出等比数列an的前n项和为Sn,表示,分n为奇数或偶数讨论其最值.【解析】(1) 设等比数列的公比为，由
9、S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列，所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是又an不是递减数列且所以故等比数列的通项公式为(2)由(1) 得当n为奇数时，随n的增大而减小，所以故当n为偶数时，随n的增大而增大，所以故综上，对于，总有所以数列的最大项的值为与最小项的值为15. （2013陕西高考理科17）设是公比为q的等比数列. () 推导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 【解题指南】推导数列的前n项和公式要注意分情况讨论；证明数列不是等比数列，一般要用反证法.【解析】() 分两种情况讨论。.上面两式错位相减: 。综上，() 使用反证法。设是公比q1的等比数列, 假设数列是等比数列.则整理得均与题设矛盾，故数列不是等比数列.16. （2013湖北高考理科T18）已知等比数列满足： （）求数列的通项公式；（）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.【解题指南】（）用a1和公比q表示,解方程组.（）求和。【解析】（）设等比数列的公比为q，则由已知可得 解得 或，故，或. （）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而. 若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而 故. 综上，对任何正整数m，总有.故不存在正整数，使得成立.
