1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例一、单选题1（2021全国）在中，有，那么这个三角形一定是（ ）A以a为斜边的直角三角形B以b为斜边的直角三角形C等边三角形D以上结论都不对2（2021陕西泾阳县教育局教学研究室（文）在中，已知，则该三角形的形状为（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定3（2021全国）当太阳光与水平面的倾斜角为60时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）A150B30C45D604（2022全国）今年第6号台风“烟花”于
2、2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（ ）ABCD5（2021全国）如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为已知此山的高，小车的速度是，则（ ）ABCD6（2021西藏拉萨那曲高级中学）的内角，的对边分别为，若，则为（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D以上均有可能7（2021黑龙江佳木斯市第二中学（文）
3、世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边点时，测得河对面的某地标建筑物在其北偏东60的方向上，往正北方向步行到达点后，测得该地标建筑物在其南偏东75方向上.则此时小徐与该地标建筑物的距离（ ）ABCD8（2021西藏拉萨中学）某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，BAC60，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为OAC15，最高点H的仰角为HAO30，则该烟花的垂直弹射高
4、度CH约为（参考数据：2.446）（ ）A40米B56米C65米D113米9（2022全国）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75，30，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）ABCD10（2022上海）在锐角中，的对边长分别是，则的取值范围是（ ）ABCD11（2022浙江金华）已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）ABCD12（2021黑龙江大庆实验中学）如图.某人开车在水平公路上自东向西行驶，在处测得山顶处的仰角，该小车在公路上匀速行驶分钟后，到达
5、处，此时测得仰角.已知小车的速度是，且，则下列结论正确的是（ ）此山的高小车从到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为ABCD二、多选题13（2021广东深圳市龙岗区布吉中学）在中，角，所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ）A若，则B若，则为钝角三角形C若，则符合条件的三角形不存在D若，则为直角三角形14（2021福建泉州科技中学）在中，角、的对边分别是、下面四个结论正确的是（ ）A，则的外接圆半径是4B若，则C若，则一定是钝角三角形D若，则15（2021重庆）在中，是边上一点，下列正确的是（ ）ABC为锐角三角形D可能为钝角16（2021全国（文）下列命题中是真命题的有（ ）A存在，使B在
6、中，若，则是等腰三角形C在中，“”是“”的充要条件D在中，若，则的值为或17（2021河北张家口市第一中学）下列说法中正确的是（ ）A若，.则有两组解B在中，已知，则是等腰直角三角形C两个不能到达的点之间无法求两点间的距离D在中，若.18（2021福建三明）在中，P为内一点，下列结论正确的是（ ）A若，则B若，则C的面积的最大值为D的面积的取值范围是三、填空题19（2021全国）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB=45以及MAC=75，从C点测得MCA=60.已知山高BC=500m，则山高MN=_m.20（2021
7、全国）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45的方向上，则此时A，B两船相距_nmile21（2021河南新蔡县第一高级中学（理）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC1000m，则山高MN_m22（2021河南（文）据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东距离该市千米的位置，
8、预计台风中心以千米/小时的速度向正北方向移动，离台风中心千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_23（2021全国高一期中）如图，在平面四边形中，分别为边，上的点，为等边三角形，且，则面积的最大值为_.24（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=acosB+bcosA，b=2，则ABC的面积的最大值是_.四、解答题25（2022安徽阜阳（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且的面积为.(1)求角A；(2)若，求的周长.26（2022河南沈丘县第一高级中学（文）已知在ABC中，
9、角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求C；(2)若，求的最大值27（2021上海浦东新）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.(1)求岸线上点与点之间的直线距离；(2)如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）28（2022山东滨州）如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为，平行四边形ABCD的顶点C在扇形弧上，D在半径OQ上，A，B在半径OP上，记平行四边形ABCD的面积为S，(1)用表示平行四边形
10、ABCD的面积S；(2)当取何值时，平行四边形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积8原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1D【解析】【分析】由题设可知，与是对称的关系，可A、B同时排除，又若C正确，则原式为，矛盾，则C被排除，由此可得选项.【详解】解：由题设可知，与是对称的关系，从而A、B是等价命题，故A、B同时排除，又由分析法可知若C正确，则原式为，矛盾，则C被排除，故选：D.2C【解析】【分析】根据正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，由余弦定理得，因为，所以为钝角，即该三角形
11、的形状为钝角三角形，故选：C.3B【解析】【分析】利用正弦定理分析计算即可【详解】设竹竿与地面所成的角是，影子长为，由正弦定理得，所以，因为，所以当，即时，取得最大值，所以竹竿与地面所成的角为时，影子最长，故选：B4C【解析】【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.【详解】如图，中，由正弦定理得，所以船与岛的最近距离：故选：C.5A【解析】【分析】分析出、均为直角三角形，求出、的长，计算出的长，再利用余弦定理可求得的值.【详解】由题意，得平面，、平面，故，所以，、均为直角三角形，且，由，可得，因为，所以故选：A6B【解析】【分析】由正弦定理结合已知条件可得结合的范围可求得角，进而
12、可判断的形状.【详解】由正弦定理得，又因为，所以，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形，故选：B.7D【解析】【分析】根据题意画出示意图，然后在中，由正弦定理可以求出的长.【详解】在中，所以，所以由正弦定理可得，解得.故选：D.8C【解析】【分析】通过余弦定理求出AC，进而求出CH,OH，然后得到CH，最后通过辅助角公式化简求出答案.【详解】在中，由余弦定理：.因为，所以，又因为，所以，于是，.故选：C.9C【解析】【分析】根据题目所给俯角，求出内角，利用正弦定理求解即可.【详解】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75，30，气球的高度是，所以所以，由正弦定理可得，所以.故选：C1
13、0D【解析】【分析】确定B的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可.【详解】在锐角中,，而，所以，所以由正弦定理可知：，故选：D11D【解析】【分析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.【详解】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，,，设，则，解得，则爆炸点与观测点的距离为，故选：D.12C【解析】【分析】设，得到OB和OA，再利用余弦定理即可求解根据的结论，结合勾股定理，即可求解根据的结论，求出，即可求解根据的结论，求出O到AB的距离，即可求解【详解】对于，设，由题意可得：中，在中，又，在中，
14、由余弦定理可得：，解得，即故错对于，由得,则,故，故对.对于，因为，所以，所以,故错.对于，由等面积法可以得到到的距离，则最大仰角的正切值为,故对.故选：C.13ACD【解析】【分析】利用正余弦定理逐一判断即可.【详解】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；若，则，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；若，根据正弦定理可得所以符合条件的三角形不存在，即C正确若，则，所以，所以，即，故D正确故选：ACD【点睛】本题主要考查的是正余弦定理，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.14BC【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判
15、断D.【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC15AB【解析】【分析】利用余弦定理判断，利用正弦定理判断，利用三角形中判断【详解】解：在中，由余弦定理得，正确，在中，由正弦定理得，正确，：在中，由余弦定理得，为锐角，又，为锐角，错误，错误故选：16AC【解析】【分析】赋值法可以判断A选项；在中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根据正弦定理可判断选项C；先由，求得，再由，结合大角对大边求得，最后根据求值即可判断选项D.【详解】对于A，当时，正确；对于B
16、，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；对于D，因为，所以.因为，所以由正弦定理得，从而.又因为，所以，从而，错误；故选：AC.【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响17AD【解析】【分析】选项A，利用边边角多解的判定条件可判断；选项B，原式可利用正弦定理转化为，可判断；选项C，两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离；
17、选项D，由正弦定理，可判断.【详解】选项A：由正弦定理，又，或，有两组解，故A正确；选项B：由题意，根据正弦定理， 又或，即或故是等腰三角形或直角三角形，故B不正确；选项C：两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离，故C不正确；选项D：由正弦定理，故D正确.故选：AD18BC【解析】【分析】由题意知在以为直径的圆上，A中由余弦定理在中求；B中若，在中由正弦定理可得，即可求；C中要使的面积的最大则，即可求最大值；D中讨论在圆与的交点上或、重合时求，即可知范围.【详解】由题意知：如上图示，在以为直径的圆上，A：时，易知，故在中，则，错误；B：，若，则，在中，即，可得，正确；
18、C：要使的面积的最大，则，此时，正确；D：由图知：若在圆与的交点上，又P为内一点，所以的面积的取值范围是，错误.故选：BC19750【解析】【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出【详解】在中，所以，在中，则，由正弦定理得，所以，在中，所以，故答案为：75020【解析】【分析】利用正弦定理即可求出结果.【详解】由题意，由正弦定理，即，解得故答案为：21500【解析】【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RtMNA中，AM1000m，MAN30，从而可求得MN【详解】在RtABC中，CAB45，BC1000m，所以AC1000m在AMC中，M
19、AC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理得，因此AM1000m在RtMNA中，AM1000m，MAN30，由sin30得MN500m；山高MN500故答案为：50022小时#小时【解析】【分析】根据给定信息画出图形，再借助余弦定理结合已知列出不等式求解即得.【详解】如图，A为某市的位置，是台风中心在13日5时的位置，设台风运动小时后的位置为，则，又，在中，由余弦定理得：，由，解得，于是得(小时)，所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时.故答案为：小时23【解析】【分析】在中利用余弦定理求出，然后求出和，在中，利用余弦定理和基本不等式，得到，再求出面积的最大值【详解】在中，由
20、余弦定理，得，又，在中，由余弦定理，得，在中，利用基本不等式，得，化简得（当且仅当时取等号），即面积的最大值为故答案为：24【解析】【分析】由余弦定理得出，由基本不等式得出，最后由三角形面积公式得出面积的最大值.【详解】因为2ccosB=acosB+bcosA，由余弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，由，b=2，得出，所以（当且仅当时，取等号），即，故，故ABC的面积的最大值是.故答案为：25(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）利用正弦定理得到，结合面积公式得到，进而求出，进而求出的周长.(1)因为，所以，由余弦定理得，又，所以.(2)由及正弦定理可得，又的面积为.
21、所以，则，解得：，所以，所以的周长为.26(1)；(2).【解析】【分析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.(1)由，得，即，由余弦定理得：，又，所以(2)由（1）知：，则，设ABC的外接圆半径为R，则，当时，取得最大值为27(1)米(2)55076元【解析】【分析】（1）由余弦定理计算即可；（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.(1)，岸线上点与点之间的直线距离为米.(2)中，（），设两段网箱获得的经济总收益为元，则 ，当，即时， （元）所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.28(1)；(2)当时，取得最大值.【解析】【分析】（1）过点作交于点，在中可得，在中由正弦定理可得，然后可得答案.（2）根据正弦函数的知识可得答案.(1)过点作交于点，在中，所以在中，所以由正弦定理可得，所以所以(2)因为，所以所以当即时，取得最大值26原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
