1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一异面直线所成的角1.(2020台州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.B.C.D.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.3.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成角的余弦值为_.世纪金榜导学号4.如图
2、所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则的值为_.世纪金榜导学号【解析】1.选C.以D为坐标原点,DC,DA,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,可得A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0),B1(2,2,2),C1(2,0,2),由中点坐标公式可得E(2,1,0),F(2,1,2),则=(2,-1,2),=(0,1,-2),设两异面直线所成角为,则cos =|cos|=,则sin =,故异面直线AF与C1E所成角的正切值为=
3、.2.选C.建立如图所示空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).所以cos=.3.以两对角线AC与BD的交点O作为原点,以OA,OB,OS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设边长为2,则有O(0,0,0),A(,0,0),B(0,0),S(0,0,),D(0,-,0),E,所以=,=(0,-,-),|cos|=,故AE,SD所成角的余弦值为.答案:4.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则A1,D1,E
4、,A ,所以=,=+=+=+=,所以cos=,解得=(=-舍去).答案:求异面直线所成的角的两个关注点(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的.(2)由于两异面直线所成角的范围是0,两方向向量的夹角的范围是(0,),所以要注意二者的区别与联系,应有cos =|cos |.【秒杀绝招】补形法解T2【解析】选C.由于BCA=90,三棱柱为直三棱柱,且BC=CA=CC1,可将三棱柱补成正方体.建立如图所示空间直角坐标系.设正方体棱长为2,则可得A(0,0,0),B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),所以=(-1,-1,2),=(0,1,2).所以
5、cos=.考点二直线与平面所成的角【典例】(2020台州模拟)如图棱锥P-ABCD的底面是菱形,AB=2,DAB=,侧面PAB垂直于底面ABCD,且PAB是正三角形.世纪金榜导学号(1)求证:PDAB;(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题(1)证明线线垂直,先证明线面的垂直直线AB与过PD的平面垂直(2)求线面角,利用向量法,先根据几何体中的线面关系建立空间直角坐标系,分别求出直线的方向向量与平面的法向量,然后利用这两个向量的夹角表示所求角.【解析】(1)如图,取AB中点O,连接PO,DO,因为PAB是正三角形,所以POAB,又因为ABCD是菱形,DAB=,所以
6、DAB是正三角形,所以DOAB,又PODO=O,PO,DO平面PDO,所以AB平面PDO,因为PD平面PDO,所以PDAB.(2)因为侧面PAB垂直于底面ABCD,面PAB面ABCD=AB,POAB,所以PO面ABCD.如图,以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,则P(0,0,),C(2,0),B(1,0,0),D(0,0),则=(2,-),=(0,-),=(-1,0),设平面PBD的法向量n=(x,y,z),则取x=,得y=1,z=1,所以n=(,1,1),记直线PC与平面PBD所成角为,所以sin=,所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平
7、面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.(2020金华十校联考)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BCCD,SC=SD=CD=DA=1,CB=2,ADBC,SCB=,E为线段SB的中点.(1)证明:AE平面SCD;(2)求直线AE与平面SBC所成角的余弦值.【解析】(1)取SC的中点F,连接EF,DF.因为E,F是SB,SC的中点,所以EFBC,EF=BC,又ADBC,AD=BC,所以EFAD,EF=AD,所以四边形ADFE是平行四边形,所以AEDF
8、,又DF平面SCD,AE平面SCD,所以AE平面SCD.(2)取CD的中点O,连接SO,过O作BC的平行线OM,以O为原点,以OD,OM和平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间坐标系O-xyz,因为SC=CD=SD=1,所以SO=,设二面角S-CD-A的大小为,则S,A,B,C,所以E,所以=(0,2,0),=,因为SCB=,所以cos=cos =-,所以cos =-,sin =.所以S,E,所以=,=,设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=可得n=(,0,-1),所以cos=-,设直线AE与平面SBC所成角为,则sin =,所以cos =.所以直线AE与平面SBC所成角的余弦值为.关闭Word文档返回原板块
