1、XCS2020-2021学年第一学期期末教学质量检测高二理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列四个命题若是余弦函数，则是周期函数；若不是余弦函数，则不是周期函数；若是周期函数，则是余弦函数：若不是周期函数，则不是余弦函数其中真命题是（ ）A. B. C. D. 2. 若
2、抛物线的准线方程是，则该抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 3. 已知，则等于（ ）A. (0，3，6)B. (0，6，20)C. (0，6，6)D. (6，6，6)4. 下列各题中，p是q充要条件的是（ ）p：，q：；p：，q：；p：，q：；p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形A. B. C. D. 5. 在正项等比数列中，若，则公比（ ）A. B. 或C. D. 或6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A等于（ ）A. B. 或C. D. 或7. 若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ）A y23x2
3、36B. x23y236C. 3y2x236D. 3x2y2368. 已知实数满足： ，若的最小值为，则实数（ ）A. B. C. D. 89. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，x轴上存在两点，连接AP，AQ分别与抛物线交于另一点C、D，设B，C，D的纵坐标分别为，若，成等差数列，则（ ）A. B. C. 3D. 410. 若实数满足，则的最小值为（ ）A B. 2C. D. 111. 在数列中，对，则（ ）A. B. C. D. 12. 如图，已知抛物线的焦点和圆的圆心重合，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题
4、：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 命题“，”的否定是_14. 在中，内角的对边分别为，且，则外接圆的面积为_15. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_16. 在数列中，；等比数列的前n项和为当时，使得恒成立的实数的最小值是_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 某文具店购进一批新型文具，若按每件15元的价格销售，每天能卖30件，若售价每提高1元，日销售量减少两件为了使这批文具每天获得400元以上的销售收入，应该怎样制定这批文具的价格？18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求A的大小；（2）若，求面积
5、19. 在长方体中，点E，F分别在，上，且，（1）求证：平面AEF；（2）当，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值20. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线C上（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程21. 已知数列的前n项和为（1）求这个数列的通项公式；（2）设，证明：对，数列的前n项和22. 已知焦点在y轴上椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.直线与轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点（I）求椭圆E的方程；(II)若，求的取值范围XCS2020-2021学年第一
6、学期期末教学质量检测高二理科数学（解析版）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列四个命题若是余弦函数，则是周期函数；若不是余弦函数，则不是周期函数；若是周期函数，则是余弦函数：若不是周期函数，则不是余弦函数其中真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利
7、用三角函数的周期性，判断；再利用原命题与逆否命题具有相同的真假性判断即可.【详解】周期函数有正弦函数，余弦函数，正切函数等，所以正确，不正确；为的逆否命题，所以不正确；为的逆否命题，所以正确；故选：A.2. 若抛物线的准线方程是，则该抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据准线方程可知抛物线的开口向右，由此得到标准方程为的形式，再根据抛物线的顶点到准线的距离为,结合已知准线方程即可求得的值，从而得到抛物线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程是，抛物线的标准方程形式为，根据抛物线的顶点到准线的距离为抛物线的标准方程为.故选：D.【点睛】本题考查抛物线的方程与
8、准线方程，属基础题，关键在于掌握抛物线的方程与开口方向的关系.3. 已知，则等于（ ）A. (0，3，6)B. (0，6，20)C. (0，6，6)D. (6，6，6)【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性坐标运算即可求解.【详解】由，得.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的线性坐标运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4. 下列各题中，p是q的充要条件的是（ ）p：，q：；p：，q：；p：，q：；p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据判断充分、必要的方法，逐一判断即可.【详解】由得：或（舍去），所以p是q的既不充分条件
9、也不必要条件；当时，成立，当时，或，所以p是q的充分不必要条件；当时，成立，当时，也有成立，所以p是q的充要条件；一个三角形是等边三角形，其一定是等腰三角形，但是一个三角形是等腰三角形，其不一定是等边三角形，所以p是q的充分不必要条件故选：C.5. 在正项等比数列中，若，则公比（ ）A B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得出关于、的方程组，进而可求得等比数列的公比.【详解】由得，即，又，解得或，或故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关、的方程组，通过求出、的值，结合等比数列的基本量来进行求解.6. 内角A，B，C的对边分
10、别为a，b，c，若，则角A等于（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化简得，即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，又因为，可得，所以，又由，所以或.故选：D.7. 若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ）A. y23x236B. x23y236C. 3y2x236D. 3x2y236【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程求出其焦点坐标和离心率，从而可求出双曲线的焦点和离心率，进而可求出的值，即可得双曲线的方程【详解】椭圆4x2y264，即，焦点为，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c，e，从而a6，b212，故
11、所求双曲线的方程为y23x236故选：A8. 已知实数满足： ，若的最小值为，则实数（ ）A. B. C. D. 8【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：作出不等式组表示的区域如下图所示，从图可知，直线过点时，的值最小，所以.选B.考点：线性规划.9. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，x轴上存在两点，连接AP，AQ分别与抛物线交于另一点C、D，设B，C，D的纵坐标分别为，若，成等差数列，则（ ）A. B. C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】设过点的直线为，联立方程组，求得，进而得到，和，结合成等差数列，列出方程，即可求解.【详解】设轴上一点，过该点的直线为，联立
12、方程组，整理得，可得，又由抛物线焦点坐标为，即，此时，又由点，即，此时，点，即，此时，因为成等差数列，可得，解得.故选：C.10. 若实数满足，则的最小值为（ ）A. B. 2C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由，得，再利用均值不等式求得的最小值.【详解】因为，则，且，两边同乘，得，则，所以，当且仅当，即时取等，即的最小值为，故选：A.11. 在数列中，对，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得，得数列是以为首项，为公比的等比数列，可求数列的通项公式，再用累加法求得数列的通项公式，即可得解.【详解】解答：由得数列是以为首项，为公比的等比数列，当时，经检验，时成立，
13、故选：C.12. 如图，已知抛物线的焦点和圆的圆心重合，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由为抛物线过焦点的弦，得到，再由，利用“1”的代换变形结合基本不等式求解.【详解】因为抛物线的焦点和圆的圆心重合，所以焦点坐标为： ，所以抛物线方程为，准线方程为，因为为抛物线过焦点的弦，设的直线方程为：，与联立得：,设，则， 由抛物线定义得：，所以，当且仅当，即取等号，所以的最小值为故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 命题“，”的否定是_【答案】，【解析】【分析】根据特征命题的否定为全称命题，求
14、得结果.【详解】命题“，”是特称命题，所以其否定命题： 故答案为【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.14. 在中，内角的对边分别为，且，则外接圆的面积为_【答案】【解析】【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值，进而求得角的正弦值以及外接圆半径，故可得解.【详解】由正弦定理得：则设外接圆的半径为，则外接圆的面积为故答案为：.【点睛】解三角形基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函
15、数思想求最值.15. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_【答案】【解析】【分析】根据椭圆的离心率公式以及利用求出，即可得到椭圆的方程.【详解】依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，因此其方程是.故答案为：【点睛】本题主要考查了由离心率求椭圆的方程，属于基础题.16. 在数列中，；等比数列的前n项和为当时，使得恒成立的实数的最小值是_【答案】【解析】【分析】分别求出、的通项，再构建新数列，求出最大项后可得实数的最小值.【详解】因为，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，当时，是等比数列，也适合，故即，又恒成立等价于恒成立，令，则，当时，当时，故，【
16、点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 某文具店购进一批新型文具，若按每件15元的价格销售，每天能卖30件，若售价每提高1元，日销售量减少两件为了使这批文具每天获得400元以上的销售收入，应该怎样制定这批文具的价格？【答案】售价【解析】【分析】由于本题只需要制定出定价策略，只需列出在条件定价x15下的式子，日销售量减少2（x-15）件，日销售收入x30-2（x-15），进而列出不等关系，求解不等式即可【详解】设每件售价元，则，即，所以售价考
17、点：分段函数的应用18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求A的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简得，进而得到，即可求解；（2）由（1）得到，由余弦定理求得，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得因为，可得所以可得，又因为，可得，因为，所以或.（2）因为，所以，又由，则，所以，由余弦定理可得：，解得，所以.【点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.19.
18、在长方体中，点E，F分别在，上，且，（1）求证：平面AEF；（2）当，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用向量证明，即可；（2）首先建立空间直角坐标系，算出平面法向量，利用第一问的结论进一步得到平面的法向量，最后利用法向量的夹角求出二面角的余弦值【详解】（1）证明：因为所以因为所以因为，所以平面（2）分别以、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接，由于：，所以，设平面的法向量为，则，所以，所以可取又由于：平面所以：看作是平面的法向量设平面和平面所成的角为，则所以平面和平面所成的角的余弦值为20. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲
19、线C上（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程【答案】（1）；（2）和【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，可得，所以，代入双曲线方程，可得，将P点坐标代入，即可求得a值，即可得答案；（2）设直线的方程为，与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理，可得的表达式，代入弦长公式，即可求得，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l的距离d，代入面积公式，结合题意，即可求得k的值，即可得答案.【详解】（1）依题意，所以，则双曲线的方程为，将点代入上式，得，解得(舍去)或，故所求双曲线的方程为（2）依题意，可设直线
20、的方程为，代入双曲线的方程并整理，得因为直线与双曲线交于不同的两点，所以，解得(*)设，则，所以又原点到直线的距离，所以又，即，所以，解得，满足(*)故满足条件的直线有两条，其方程分别为和【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k值，需检验是否满足判别式的条件，考查计算化简的能力，属中档题.21. 已知数列的前n项和为（1）求这个数列的通项公式；（2）设，证明：对，数列的前n项和【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求解即可；（2）利用求，当时，显然成立，当时，利用列项相消法求和判断即可.【详解】解：（1）当时，；当时，所以
21、；（2）由（1）易知当时，显然成立当时， ；故结论成立【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.22. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.直线与轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点（I）求椭圆E的方程；(II)若，求的取值范围【答案】() ；（）(1，4).【解析】试题分析：(1)由题意求得a2，b1.椭圆E的方程为 x21. (2)联立直线与椭圆的方程，结合判别式为正数得到关于m的不等式，求解不等式可得的取值范围是(1，4).试题解析：(I)根据已知设椭圆E的方程为1
22、(ab0)，焦距为2c，由已知得，ca，b2a2c2.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，42a4，a2，b1.椭圆E的方程为x21. (II)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得，(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2.由得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240. 当m21时，m2k2m2k240不成立，k2.k2m240，m240，即0.1m24.m2的取值范围为(1，4)点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形
