1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线23.2 双曲线的简单几何性质第1课时 双曲线的简单几何性质目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会利用几何性质求双曲线的标准方程重点 用坐标法解决一些与双曲线有关的简单几何性质难点 与渐近线及离心率有关的一些问题课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点 双曲线的简单几何性质填一填1双曲线的几何性质2.等轴双曲线实轴和虚轴_的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是_，离心率为_.等长yxe 2答一答1何为双曲线的“虚轴”？提示：在双曲线的标准方程x2a2y2b21(a0，b0)中，令 y0，可得 xa，因此双曲线
2、与 x 轴有两个交点；而令 x0，方程没有实数根，说明双曲线与 y 轴没有交点为了方便画图，把点 B1(0，b)，B2(0，b)也画在 y 轴上，称线段 B1B2 为双曲线的虚轴此处应注意：双曲线有两个顶点，而椭圆有四个顶点2双曲线的渐近线具有什么特点？提示：双曲线的渐近线是两条直线随着 x 和 y 趋向无穷大，双曲线的各支将与渐近线无限接近，但永远没有交点由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 的比值，无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上3如何用几何图形解释 c2a2b2？a，b，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？提示：由于 c2a2b2，a，b，c 就是下图中 RtOAB 的三边长，它
3、们从另一个角度反映了参数 a，b，c 的几何意义4椭圆与双曲线的离心率都是 e，其范围一样吗？提示：不一样椭圆离心率 0e1.对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x2a2y2b21(a0，b0)，得x2a21y2b21，x2a2，|x|a，即 xa 或 xa；(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；(4)对称性：由双曲线的方程x2a2y2b21(a0，b0)，若 P(x，y)是双曲线上任意一点，则 P1(x，y)，P2(x，y)均在双曲线上，因
4、P 与 P1，P2 分别关于 y 轴，x 轴对称，因此双曲线分别关于 y轴，x 轴对称只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个(5)双曲线的渐近线双曲线的渐近线是两条直线，当 x，y 趋向于无穷大时，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点因为焦点在 x 轴上和 y 轴上的渐近线方程分别为 ybax 和yabx，容易混淆，所以常把双曲线标准方程右边的常数写成 0，分解因式即得渐近线方程类型一 由双曲线的标准方程求几何性质【例 1】求双曲线 9y216x2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程【解】把方程化为标准方程y242x2321.由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b
5、3.c a2b2 42325，焦点的坐标是(0，5)，(0,5)离心率 eca54.渐近线方程为 x34y，即 y43x.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准 a 和 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于()A.12 B.22 C1 D.2解析：双曲线 x2y21 的渐近线方程为 xy0，顶点坐标为(1,0)，故顶点到渐近线的距离为 22.B类型二 由双曲线的几何性质求标准方程【例 2】求适合下列条件的双曲线的标
6、准方程(1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是 6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分【分析】(1)由虚轴长求b 由离心率及a，b，c的关系求a写出双曲线的方程(2)由已知条件确定2a，2c的值 由a，b，c的关系求b 分类写出双曲线的方程【解】(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2y2b21，则 2b8，eca53，从而 b4，c53a，代入 c2a2b2，得 a29，故双曲线的标准方程为x29 y2161.(2)由两顶点间的距离是 6 得 2a6，即 a3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得 2c4a12，即 c6，于是有 b2c2a2623227.由于
7、焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x29 y2271 或y29x2271.一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定 a，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合 c2a2b2 及 e列关于 a，b 的方程组，解方程组可得标准方程求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；(2)双曲线过点(3,9 2)，离心率 e 103.解：(1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得 a 3，c2，再由 a2b2c2，得 b21.故双曲线 C 的方程为x
8、23 y21.(2)由 e 103，得c2a2109，设 a29k(k0)，则 c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线方程为x29ky2k 1，或y29kx2k 1，把(3,9 2)代入，得 k161 与 k0 矛盾；把(3,9 2)代入，得 k9，故所求双曲线方程为y281x29 1.类型三 双曲线的离心率问题【例 3】(1)过双曲线的一个焦点 F2作垂直于实轴的弦 PQ，F1 是另一焦点，若PF1Q2，则双曲线的离心率等于()A.21 B.2C.21 D.22(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于 5，则其渐近线方程为_Cy2x 或 y12x 设 F1，F2 是双
9、曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点若在 C 上存在一点 P，使 PF1PF2，且PF1F230，则 C 的离心率为_.解析：由已知可得，|PF1|2ccos30 3c，|PF2|2csin30c，由双曲线的定义，可得 3cc2a，则 eca231 31.31类型四 素养提升已知渐近线求双曲线方程的设法及应用对于双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，令x2a2y2b20 可得渐近线方程，若已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在轴时，双曲线有两个方程，为避免分类讨论，可设双曲线方程为x2a2y2b2(0)因而，与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程为x
10、2a2y2b2(0)；与双曲线y2a2x2b21(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程为y2a2x2b2(0)【例 4】已知双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，且与椭圆 x24y264 共焦点，求双曲线的方程【精解详析】方法一：椭圆方程可化为x264y2161，易得焦点是(4 3，0)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，其渐近线方程是 ybax，则ba 33.代入 a2b2c248，解得 a236，b212.所以所求双曲线方程为x236y2121.方法二：由于双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0，则另一条渐近线方程为 x 3y0.已知双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线的方程为
11、x23y2(0)，即x2 y231.由椭圆方程x264y2161 知 c2a2b2641648.因为双曲线与椭圆共焦点，所以 348，则 36.所以所求双曲线方程为x236y2121.求与双曲线x29 y2161 有共同渐近线，并且经过点(3，2 3)的双曲线的方程解：设所求双曲线方程为x29 y216(0)，将点(3，2 3)代入，得991216，解得 14.所以所求双曲线方程为4x29 y241.1已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.x24 y2121 B.x212y24 1C.x210y26 1 D.x26 y2101解析：由题意知 c4，焦点在
12、 x 轴上，所以ba21e24，所以ba 3，又由 a2b24a2c216，得 a24，b212.所以双曲线方程为x24 y2121.A2已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则C 的渐近线方程为()Ay14xBy13xCy12xDyx解析：因为双曲线x2a2y2b21 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为 ybax.又离心率为 eca a2b2a1ba2 52，所以ba12，所以双曲线的渐近线方程为 y12x.C3双曲线 5y24x220 的实轴长为_，虚轴长为_，渐近线方程为 y_，离心率为_.解析：双曲线 5y24x220 化为标准方程为x25 y24
13、1.a 5，b2.c3.焦点在 x 轴上2 53 552 55 x44已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲线的标准方程为_.解析：由题意得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a3，焦距与虚轴长之比为 54，即 cb54，解得 c5，b4，双曲线的标准方程为x29 y2161.x29 y21615(1)求过点(3，2)，离心率 e 52 的双曲线的标准方程；(2)焦点在 x 轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为3，焦距为 12，求此双曲线的方程及离心率解：(1)若双曲线的焦点在 x 轴上，设其标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)因为双曲线过点(3，2
14、)，则 9a2 2b21.又 ecaa2b2a2 52，故 a24b2.由得 a21，b214，故所求双曲线的标准方程为 x2y2141.若双曲线的焦点在 y 轴上，设其标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)同理可得 b2172，不符合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为 x2y2141.(2)由已知可设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，所以两条渐近线为 ybax.因为两条渐近线的夹角为3，故分两种情况，即 ybax 的倾斜角为6或3.当 ybax 的倾斜角为6时，batan6 33，b2a213，即 a23b2.又 2c12，c6.c2a2b2，b29，a227.双曲线方程为x227y29 1.eca 63 323 3.当 ybax 的倾斜角为3时，batan3 3，b23a2.又 2c12，c6.由 c2a2b2，a29，b227.双曲线方程为x29 y2271，eca632.温示提馨请 做：课时作业 15PPT文稿（点击进入）
