1、专题2.3 函数奇偶性1. (2017沈阳模拟)函数f(x)满足f(x1)f(x)，且当0x1时，f(x)2x(1x)，则f的值为【答案】【解析】f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)的周期为2.fff2.2. (2016江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_【答案】.3. (2017广州联考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)_.【答案】2【解析】因为f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期T4，又f(x)在R上是奇函数，所以
2、f(7)f(1)f(1)2122.4. (2017泰安模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为_.【答案】2【解析】设g(x)f(x1)，f(x1)为偶函数，则g(x)g(x)，即f(x1)f(x1)，f(x)是奇函数，f(x1)f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)0225. (2016天津高考改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_.【答案】【解析】因为
3、f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，所以f(x)f(x)，且f(x)在(0，)上单调递减由f(2|a1|)f()，f()f()，可得2|a1|，即|a1|，所以a.6. (2016山东高考改编)已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)_.【答案】2【解析】由题意知当x时，ff，则f(x1)f(x)又当1x1时，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)又当x0时，f(x)x31，f(1)2，f(6)2.7. (2017揭阳模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x0,1)时，f(x)lg(x1)，则
4、flg 18_.【答案】18.设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.【答案】9【解析】观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.9.设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)f的所有x之和为_【答案】810. 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.【答案】7【解析】因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)
5、f(0)0.又f(1)0，所以f(3)f(5)0.故函数yf (x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为7.11. 已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.答案 (1，3.解析 (1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1，1上是增函数，要使f(x)在1， a2上单调递增.结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，3.12.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1
6、)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在 0,2 014上的所有x的个数【答案】(1) 详见解析，(2) 503.f(x2)f(x2)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数，f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 014，则n.又nZ，1n503(nZ)，在0,2 014上共有503个x使f(x).13. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0，1)时，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1，1上的解析式.【答案】(1)
7、 f(1)0，f(1)0. (2) f(x)14.已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值【答案】(1) 详见解析，(2) f(x)max6，f(x)min6.【解析】(1)证明令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数(2)解任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f (x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.
