1、第三章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理双基自测知识点一角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、_负角_和_零角_.(2)从终边位置来看，角可分为_象限角_与_轴线角_.(3)若与是终边相同的角，则用表示为_2k，kZ_.知识点二弧度制及弧长、扇形面积公式(1)1弧度的角长度等于_半径长_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|_.(3)角度与弧度的换算1_rad_；1rad_()_.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则l_|r_，扇形的面积
2、为Slr_|r2_.知识点三任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin _y_，cos _x_，tan _(x0)_.(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的_正弦线_，_余弦线_和_正切线_.1终边相同的角与对称性拓展(1)，终边相同2k，kZ.(2)，终边关于x轴对称2k，kZ.(3)，终边关于y轴对称2k，kZ.(4)，终边关于原点对称2k，kZ.2终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角终边相同
3、的角时，单位必须一致题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()(5)角ak(kZ)是第一象限角()(6)若sin sin ，则.()解析根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)(5)(6)均是错误的题组二走进教材2(必修4P10AT8改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(C)A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)解析由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角
4、度和弧度，应为2k或k36045(kZ)3(必修4P15T6改编)若角满足tan 0，sin 0知，是一、三象限角，由sin 0Bcos 20Dsin 20解析是第四象限角，2k2k，kZ，4k24k，kZ，角2的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，sin 20，cos 2可正、可负、可零故选D6(2019浙江，14分)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.则sin()的值为_.解析由角的终边过点P得sin ，所以sin()sin .考点突破互动探究考点一角的基本概念自主练透例1 (1)若角的终边与角的终边相同，则在区间0,2)内终边与角的终边相同的角为_，_.(
5、2)若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是(D)ABCD(3)已知角的终边在第二象限，则的终边必在第几象限(C)A一B三C一或三D二或四解析(1)2k(kZ)，(kZ)依题意，02，kZ，解得k，kZ.k0,1,2，即在区间0,2)内终边与相同的角为，.(2)因为直线yx的倾斜角是，所以终边落在直线yx上的角的取值集合为，故选D(3)由角的终边在第二象限，所以k2k2，kZ，所以22，kZ，当k2m，mZ时，m2m2，mZ，所以终边在第一象限；当k2m1，mZ时，m2m2，mZ，所以终边在第三象限，综上，的终边在第一或三象限故选C引申(1)本例题(3)
6、中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？答案的终边在第二或第四象限(2)在本例题(3)中，条件不变，的终边所在的位置是_在第一、二或四象限_.(3)在本例(3)中，条件不变，则是第_一_象限角，2终边的位置是_第三或第四象限或y轴负半轴上_.名师点拨1迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的象限予以判断，这里要特别注意是的偶数倍，而不是的整数倍2终边相同角的表达式的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合
7、，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需角3确定(kN*)的终边位置的方法(1)讨论法：用终边相同角的形式表示出角的范围写出的范围根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置(2)等分象限角的方法：已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第几象限角等分：将每个象限分成k等份标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴选答：出现数字m的区域，即为所在的象限如判断象限问题可采用等分象限法考点二扇形的弧长、面积公式的应用师生共研例2 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形
8、的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积解析(1)60，l10(cm)(2)由已知得，l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225.所以当R5时，S取得最大值25 cm2，此时l10，2.(3)设弓形面积为S弓由题知l cm.S弓S扇形S三角形222sin cm2.答案(1) cm(2)2时，S最大为25 cm2(3)cm2名师点拨弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷但要注意圆心角的单位是弧度(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相
9、应最值(3)记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积变式训练1(1)(2021广东珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(A)A2B1CD3(2)(2020山东潍坊期中)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(1.73) (C)A16 m2B18 m2C20 m2D25
10、 m2解析(1)设扇形的半径为R，则弧长l42R，扇形面积SlRR(2R)R22R(R1)21，当R1时，S最大，此时l2，扇形圆心角为2弧度(2)如图，由题意，得AOB，OA6.在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO63，可得矢633.由ADAOsin 63，可得弦AB2AD236，所以弧田面积(弦矢矢2)(6332)94.520(m2)，故选C考点三三角函数的定义多维探究角度1定义的直接应用例3 (1)(2020北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上在AOC中，若cos AOC，则点A的横坐标为(A)ABC3D3(2)若角的终边经过点P(，m)
11、(m0)且sin m，则cos 的值为_.分析利用三角函数的定义求解解析(1)设点A的横坐标为x，则由题意知，解得x或，又x0Bcos(305)0Dsin 100(2)若sin tan 0，且0，则角是(C)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析(1)30036060，则300是第四象限角，故sin 3000，30536055，则305是第一象限角，故cos(305)0，而8，所以是第二象限角，故tan0，因为310，所以10是第三象限角，故sin 100.故选D(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三或第
12、四象限角综上可知，为第三象限角故选C名师点拨定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论变式训练2(1)(角度1)若sin cos 0，则角是(D)A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)(角度2)已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin tan 等于(C)ABCD解析(1)由0，得0，cos 0，又sin cos 0，所以sin cos 的解集，sin |cos |的解集，|sin |cos |的解集.变式训练3(1)函数ylg(34sin2x)的定义域为_(kZ)_.(2)若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是(C)Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin 0，sin2x.sin xOMMP，故有sin cos tan .故选C
