1、第16讲变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数一般地，称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)
2、cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x(x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0) 考点1 导数的运算名师点睛对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)f(x0)g(x)h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f(x)，令xx0，即可得到f(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值典例1
3、（2022浙江高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数（1）； （2）；（3）；（4）；（5）2（2022全国高三专题练习）已知函数的导数为，且，则（）ABC1D举一反三1（2021江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（）ABCD2（2022全国高三专题练习）若函数，满足且，则（）A1B2C3D43（2022全国河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，那么的值为()A0B1C2D4（2022江苏高三专题练习）下列求导数运算正确的有（）ABCD5（2022全国高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y=x（x2）；（2）y=（1）（1）；（3）y=xtanx；（4）y=xsi
4、ncos；（5）y=3lnx+ax（a0，且a1）. 考点2 导数的几何意义名师点睛利用导数求切线方程的一般过程已知曲线yf(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解：1若P(x0，y0)是切点，则曲线的切线方程为yy0f(x0)(xx0)；2若P(x0，y0)不是切点，则分以下几个步骤：(1)设出切点坐标P(x1，y1)(2)写出过P(x1，y1)的切线方程yy1f(x1)(xx1)(3)将点P(x0，y0)的坐标代入切线方程求出x1.(4)将x1的值代入方程yy1f(x1)(xx1)得到所求切线方程提示“在”和“过”的区别：(1)“曲线yf(x
5、)在点P(x0，y0)处的切线”指点P(x0，y0)是切点，切线的斜率kf(x0)；(2)“曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线”指点P(x0，y0)只是切线上一点，不一定是切点典例1（2022广东茂名模拟预测）曲线在点处的切线方程为_2（2022全国高三专题练习）已知f(x)x2，则过点P(1，0)，曲线yf(x)的切线方程为_3（2022河南三模）曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为_4（2022湖南湘潭三模）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为_.举一反三1（2022山东枣庄三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）ABCD2（2022重庆一中高三阶段练习）已知偶函数
6、，当时，则的图象在点处的切线的斜率为（）ABCD3（2022湖北宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（）ABCD且4（2022山东潍坊二模）已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是()A若直线l是曲线的切线，则B若直线l与曲线无公共点，则C若，则点P到直线l的最短距离为D若，当点P到直线l的距离最短时，5（2022全国高三专题练习）已知直线与函数的图象相切，则切点的横坐标为ABC2D6（2022福建泉州模拟预测）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（）AB1CeD7（2022全国高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（）ABCD8（多选）
7、（2022河北保定二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（）ABCD9（2022重庆三模）曲线在点处的切线方程为_.10（2022浙江高三专题练习）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则_；若，则的最大值为_.11（2022河北廊坊模拟预测）设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是_12（2022全国高三专题练习）曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是_.13（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则_14（2022广东执信中学高三阶段练习）已知（e为自然对数的底数），则与的公切线条数为_第16讲变化率与导数、导数的计算1导数的概念
8、(1)函数yf(x)在xx0处的导数一般地，称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_
9、xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x(x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0) 考点1 导数的运算名师点睛对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)f(x0)g(x)h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f(x)，令xx0，即可得到f(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值典例1（2022浙江高三专题练习）请用函数求导法则
10、求出下列函数的导数（1）； （2）；（3）；（4）；（5）【解】（1）因为，则；（2）因为，则；（3）因为，则；（4）因为，则；（5）因为，故.2（2022全国高三专题练习）已知函数的导数为，且，则（）ABC1D【答案】B【解析】由得，当时，解得，所以，.故选：B举一反三1（2021江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（）ABCD【答案】D【解析】对于A：，故选项A正确；对于B：，故选项B正确；对于C：，故选项C正确；对于D：，故选项D不正确；所以求导运算不正确的是选项D，故选：D.2（2022全国高三专题练习）若函数，满足且，则（）A1B2C3D4【答案】C【解析】取，则有，即
11、，又因为所以，所以，所以.故选：C3（2022全国河源市河源中学模拟预测）已知实数x满足，那么的值为()A0B1C2D【答案】C【解析】由两边同时乘x可得：，又，因此由，即，可得，故选：C4（2022江苏高三专题练习）下列求导数运算正确的有（）ABCD【答案】AD【解析】A：，故正确；B：，故错误；C：，故错误；D：，故正确.故选：AD5（2022全国高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y=x（x2）；（2）y=（1）（1）；（3）y=xtanx；（4）y=xsincos；（5）y=3lnx+ax（a0，且a1）.【解】解：（1）y=x（x2）=x3+1；则函数的导数y=3x2.（2）y=（
12、1）（1）=1，则y；（3）y=xtanx，则y；（4）y=xsinsinx；则y=1cosx.（5） yaxlna. 考点2 导数的几何意义名师点睛利用导数求切线方程的一般过程已知曲线yf(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解：1若P(x0，y0)是切点，则曲线的切线方程为yy0f(x0)(xx0)；2若P(x0，y0)不是切点，则分以下几个步骤：(1)设出切点坐标P(x1，y1)(2)写出过P(x1，y1)的切线方程yy1f(x1)(xx1)(3)将点P(x0，y0)的坐标代入切线方程求出x1.(4)将x1的值代入方程yy1f(x1)(xx
13、1)得到所求切线方程提示“在”和“过”的区别：(1)“曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线”指点P(x0，y0)是切点，切线的斜率kf(x0)；(2)“曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线”指点P(x0，y0)只是切线上一点，不一定是切点典例1（2022广东茂名模拟预测）曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】，则曲线在处的切线斜率，切线方程为，即故答案为：2（2022全国高三专题练习）已知f(x)x2，则过点P(1，0)，曲线yf(x)的切线方程为_【答案】或【解析】点P(1，0)不在f(x)x2上，设切点坐标为(x0，)，由f(x)x2可得，切线的斜率.切线方程为.切线过点P(1
14、，0)，k2x0，解得x00或x02，k0或4，故所求切线方程为y0或4xy40.故答案为：或3（2022河南三模）曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为_【答案】【解析】由，得，因为，所以，则切点A的横坐标为1，所以，解得，所以A的坐标为故答案为：.4（2022湖南湘潭三模）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为_.【答案】或【解析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），则，整理得，解得或，当时，的方程为；当时，的方程为.故答案为：或.举一反三1（2022山东枣庄三模）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）ABCD【答案】C【解析】设，则，直线的斜率为，由题意可得，解得.故选：C.
15、2（2022重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，则的图象在点处的切线的斜率为（）ABCD【答案】A【解析】当时，解得：，当时，；当时，又为偶函数，即时，则，.故选：A.3（2022湖北宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（）ABCD且【答案】D【解析】作出的图象，由图可知，若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，设切点为，所以，所以切线斜率为，整理得，即方程在上有两个不同的解，所以，所以且.故选：D4（2022山东潍坊二模）已知函数，直线，点在函数图像上，则以下说法正确的是()A若直线l是曲线的切线，则B若直线l与曲线无公共点，则C若，则点P到直线l的最短距离为D若
16、，当点P到直线l的距离最短时，【答案】D【解析】f(x)定义域为(0，)，若直线l是曲线的切线，则，代入得，故A错误；当t2时，当在点P处的切线平行于直线l时，P到切线直线l的最短距离，则，故D正确；此时，故P为，P到l：的距离为，故C错误；设，令，则，当时，单调递减，当，单调递增，又时，；时，若直线l与曲线无公共点，则t3，故B错误故选：D5（2022全国高三专题练习）已知直线与函数的图象相切，则切点的横坐标为ABC2D【答案】A【解析】由可得，设切点坐标为， 则，解得，故选A.6（2022福建泉州模拟预测）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（）AB1CeD【答案】B【解析】设直线与
17、曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则，且，所以，且，所以，令，当时，单调递减，当时，单调递增，且，所以当时，因为，即，所以，所以，故故选：B7（2022全国高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】设公切线与曲线和的交点分别为，其中，对于有，则上的切线方程为，即，对于有，则上的切线方程为，即，所以，有，即，令，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，故，即.故选：B.8（多选）（2022河北保定二模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（）ABCD【答案】AD【解析】解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，则，解得，所以，即.对于函数，则
18、，又，所以，又，所以，.故选：AD9（2022重庆三模）曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】由，则切线的斜率为所以曲线在点处的切线方程为：，即因此所求切线的方程为故答案为：10（2022浙江高三专题练习）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则_；若，则的最大值为_.【答案】 0 【解析】由已知，所以，即，所以，定义域为，令，则，时，所以在上递减，所以时，所以时，递增，时，递减，所以故答案为：0；11（2022河北廊坊模拟预测）设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是_【答案】【解析】设切点坐标为，因为，所以有因为，所以，所以.故答案为：12（2022全国高三专题练习）曲线在
19、点处的切线方程是，则切点的坐标是_.【答案】【解析】由函数，则，设切点的坐标为，则斜率，所以，解得，当时，切点为，此时切线方程为；当，切点为，不满足题意，综上可得，切点为.故答案为：.13（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则_【答案】【解析】由题知：，在处的切线为，即，在处的切线方程为：又因为两条切线重合，又，解得，.故答案为：.14（2022广东执信中学高三阶段练习）已知（e为自然对数的底数），则与的公切线条数为_【答案】2【解析】根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，直线是与的公切线，则，可得，则或，故直线的方程为或；则与的公切线条数是2条故答案为：2
