1、课时规范练68不等式的证明基础巩固组1.(2020全国,理23)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca0,b0,a+b=m,求证:1a+1b+2ab4.3.(2021陕西西安中学二模)已知a0,b0且a2+b2=2.(1)若使1a2+4b2|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;(2)证明:1a+1b(a5+b5)4.综合提升组4.(2021江西赣县模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)x+3的解集;(2)若f(x)的最小值为m,正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:1a+b+1b+c+1a+c92m.5.(2021山西
2、太原二模)已知函数f(x)=|x+m2|+|2x-m|(m0).(1)当m=1时,求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x)的最小值为32,且a+b=m(a0,b0),求证:a+2b5.创新应用组6.(2021广西桂林二模)已知实数a,b,c,满足a+b+c=1.(1)若a,bR+,c=0,求证:a+1a2+b+1b2252;(2)设abc,a2+b2+c2=1,求证:a+b1.答案：课时规范练1.证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,c0,b0,a+b=22ab,ab1,1a+1b+2a
3、b=a+bab+2ab=4ab4,当且仅当a=b=1时,等号成立.3.(1)解: a,b(0,+),且a2+b2=2,1a2+4b2=12(a2+b2)1a2+4b2=121+4+b2a2+4a2b2125+2b2a24a2b2=92,当且仅当b2=2a2时,等号成立,则|2x-1|-|x-1|92,当x12时,不等式化为1-2x+x-192,解得-92x12;当12x1时,不等式化为2x-1+x-192,解得12x1;当x1时,不等式化为2x-1-x+192,解得1x92.综上,x的取值范围为-92,92.(2)证明(方法1)1a+1b(a5+b5)=a4+b4+a5b+b5a=(a2+b2
4、)2-2a2b2+a5b+b5a4-2a2b2+2a5bb5a=4-2a2b2+2a2b2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.(方法2)由柯西不等式可得1a+1b(a5+b5)=1a2+1b2(a52)2+(b52)2a52a+b52b2=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.(1)解: 当x-1时,2-2xx+3,解得x-13,则不等式的解集为空集;当-13时,2x-2x+3,解得x5,则3x5.综上,不等式的解集为x|1x5.(2)证明因为f(x)=|x+1|+|x-3|x+1-x+3|=4,当且仅当(x+1)(x-3)0时,等号成立.所以m=4,所以a+b+c=m=
5、4,1a+b+1b+c+1c+a=18(a+b)+(b+c)+(c+a)1a+b+1b+c+1c+a=38+18b+ca+b+a+bb+c+b+cc+a+c+ab+c+a+bc+a+c+aa+b38+182b+ca+ba+bb+c+2b+cc+ac+ab+c+2a+bc+ac+aa+b=98,当且仅当a+b=b+c=c+a,即a=b=c=43时,等号成立.5.(1)解: 当m=1时,原不等式为|x+1|+|2x-1|6,则x12,x+1+2x-16,解得-2x-1或-1x12或12x2,原不等式f(x)6的解集为x|-2x2.(2)证明由题意得f(x)=-3x-m2+m,xm2,f(x)min=fm2=m2+12m=32,m=1或m=-32(舍去),a+b=1,令a=cos2,b=sin202,则a+2b=cos+2sin=5sin(+)5,当=2-0bc0,又由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,得ab+bc+ac=0,但由abc0,知ab+bc+ac0,矛盾,故假设a+b1不成立,则a+b1.
