1、微专题 24 椭圆中与面积有关的取值范围问题 1.点 P 是椭圆x225y291 上位于 x 轴上方的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若直线 PF1的斜率为 3，则PF1F2的面积为_ 2已知椭圆 C：x2y221，F 为其上焦点，A 为椭圆 C 的右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积最大值为_ 3已知椭圆 E：x24y231 的焦点在 x轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，AMAN，且 AMAN，则AMN 的面积为_ 4已知 A，B 分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的右顶点和上顶点，
2、直线 ykx(k0)与椭圆交于 C，D 两点，若四边形 ACBD 的面积最大值为 3b2，则椭圆的离心率为_ 5过椭圆x216y241 上一点 P 作圆 x2y22 的两条切线，切点分别为 M，N，若直线 MN 为 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，则OAB面积的最小值为_ 6椭圆两焦点分别为 F1(4，0)，F2(4，0)，P 为椭圆上动点，直线 PF2与椭圆的交点为 Q，若PF1Q 面积的最大值为 15，则该椭圆的标准方程为_ 7.如图，点 A(1，3)为椭圆x22y2n1上一定点，过点 A 引两直线与椭圆分别交于B，C 两点(1)求椭圆方程；(2)若直线 AB，AC 与 x 轴围成的是以
3、点A 为顶点的等腰三角形 求直线 BC 的斜率；求ABC 的面积的最大值，并求出此时直线 BC 的方程 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左顶点为 A，与 x 轴平行的直线与椭圆 E 交于 B，C 两点，过 B，C 两点且分别与直线 AB，AC 垂直的直线相交于点 D.已知椭圆 E 的离心率为 53，右焦点到右准线的距离为4 55.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)证明点 D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求BCD 面积的最大值 微专题 24 1答案：6 3.解析：由题意，F1(4，0)，F2(4，0)，那么直线 PF1方程：y 3
4、(x4)由x225y291，y 3（x4），消去 y，得 28x2200 x3250，即(14x65)(2x5)0，方程组的解为x6514，y9 314，或x52，y3 32.因为 y0，所以 yP3 32.所以PF1F2的面积为 SPF1F212F1F2|yP|1283 32 6 3.2答案：1 22.解析：由题可知：F(1，0)，A(0，2)，则直线 lFA 2xm.四边形 OAPF 的面积为三角形 OAF 的面积与三角形 AFP 的面积其中 SOAP12|OA|OF|12 21 22 恒为定值，而四边形 OAPF 的面积最大即为当三角形 AFP 的面积最大时取到，而AFP 面积最大时，即
5、点 P 到直线 AF 的距离最大此时过点 P 的直线与直线 AF 平行且直线 AF 与椭圆相切设lp：y 2xm，联立 yx2y221y 2m4x22 2mxm220，由0 得 m24，又 P 在第一象限，m2.lp：y 2x2.两平行直线的距离为 2.d2 3 63，SAFP12|AF|d122 3631 22.S 四边形 OAPF 22(1 22)1 22.3答案：14449.解析：椭圆 E 的方程为x24y231，A 点坐标为(2，0)，则直线 AM 的方程为 yk(x2)联立x24y231，yk（x2），并整理得(34k2)x216k2x16k2120，解得 x2 或 x8k2634k
6、2，则 AM 1k28k2634k22 1k2 1234k2.因 为 AMAN，所 以 AN 11k2123411k2 1k2 123|k|4|k|.因 为 AM AN，k 0，所 以1k21234k2 1k2 123k4k，整理得(k1)(4k2k4)0，又 4k2k40 无实根，所以 k1.所以AMN 的面积为 12AM21211 1234214449.4答案：73.解析：如图，不妨设 C 在第一象限，设 C(x0，y0)，则 x0acos，y0bsin.那么ACD的面积为 ay0，BCD 的面积为 bx0，所以四边形面积 SACBDay0bx0ab(cossin)2absin4 2ab3
7、b2.所以，ba 23，所以 eca 73.5答案：12.解析：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则切线 PM，PN 方程分别为 x1xy1y2，x2xy2y2，两直线均过点 P，则有 x1x0y1y02，x2x0y2y02.所以 MN 坐标满足方程 xx0yy02，所以 MN 直线方程为 x0 xy0y2.所以 A2x0，0，B0，2y0，所以 SOAB122x02y0 2|x0y0|.又因为x0216y024 12x02y0264|x0y0|4，所以|x0y0|4，即 SOAB12.6答案：x225y291.解析：设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，且 c4，
8、设直线 PF2：xmyc，则由方程组 x2a2y2b21，xmyc得（myc）2a2y2b21，即m2a21b2 y22cmya2 b2a20.所以 4c2m2a4 4b2a2m2a21b2 4m2a2a4 4a24（1m2）a2.面积 S122c|y1y2|c|y1y2|cm2a21b22acb2 1m2b2m2a2.令 1m2t，则 t1，则 S 2acb2tb2t2c22acb2b2tc2t2acb22bc ab，“”当且仅当 tcb时成立因为 t1，所以当 cb，即 b4 时，当tcb时，S 有最大值 ab；当 b4 时，当 t1 时，S 有最大值8b2a；令 ab15，即 a a21
9、615，得 a416a22250，解得 a225(a29 舍去)，b29(符合题意)；令8b2a 15，即 8a215a1280，解得 a 116(15 4 321)，b2158 a9.46 不合题意 综上所述，此时椭圆方程为x225y291.7答案：(1)x22y261；(2)kBC 3，ABC 面积取得最大值 3.此时，直线 BC 的方程为 y 3x 6.解析：(1)把点 A(1，3)代入x22y2n1 得 n6，故椭圆方程为x22y261.(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直 因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为 k1，k2，由 y 3k1（x1），x22y261，消
10、去 y，得(3k12)x22k1(3k1)x(3k1)260，点 B 的横坐标为 x162 3k1k123(x1 为点 A 的横坐标)，点 B 的纵坐标为 y 32 3k126k1k123，即 B162 3k1k123，32 3k126k1k123.同理可得点 C 的坐标为 162 3k2k223，32 3k226k2k223.k1k20，直线 BC 的斜率为 kBC 3.设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线 BC 的方程为 y 3xm，代入方程x22y261 得 6x22 3mxm260，x1x2 33 m，x1x2m266，BC1（3）2|x1x2|2（x1x2）24x1x2 2
11、3312m2，又点 A 到直线 BC 的距离为 d|m|2，SABC12BCd 36m2（12m2）36（m26）236，当 m26，即 m 6或 m 6时，ABC 面积取得最大值 3.此时，直线 BC 的方程为 y 3x 6.8答案：(1)x29y241；(2)证明略；直线方程为 x3；(3)BCD 面积的最大值为274.解析：(1)由题意得ca 53，a2cc4 55，解得 a3，c 5，所以 b a2c22，所以椭圆 E 的标准方程为x29y241.(2)设 B(x0，y0)，C(x0，y0)，显然直线 AB，AC，BD，CD 的斜率都存在，设为 k1，k2，k3，k4，则 k1 y0
12、x03，k2y0 x03，k3x03y0，k4x03y0.所以直线 BD，CD 的方程为 y x03y0(xx0)y0，yx03y0(xx0)y0.消去 y 得x03y0(xx0)y0 x03y0(xx0)y0，化简得 x3，故点 D 在定直线 x3 上运动(3)由(2)得点 D 的纵坐标为 yDx03y0(3x0)y0 x029y0y0，又x029 y024 1，所以 x0299y024，则 yDx03y0(3x0)y094y02y0y0 54y0，所以点 D 到直线 BC 的距离 h 为|yDy0|54y0y0 94|y0|，将 yy0代入x29y241 得 x 31y024，所以BCD 面积 SBCD12BCh12 61y024 94|y0|2721y024 12|y0|272 1y024 y0242274，当且仅当 1y024 y024，即 y0 2时等号成立，故 y0 2时，BCD 面积的最大值为274.
