1、外接球墙角模型（长方体，正方体）一、知识要点：墙角模型（长方体，正方体）公式：方法：找三条两两垂直的线段，利用公式，即求出R二、例题精讲：例1、长方体的长，宽，高分别为3，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（）ABCD例2、已知三棱锥中，底面，则该三棱锥的外接球的体积为（）ABCD例3、已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（）AB4CD例4、据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，且，三棱锥外接球表面积为（）ABCD例5、在正三棱锥中，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCD例6、如图在正三棱锥中，分
2、别是棱的中点，为棱上的一点，且，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（）ABCD三、习题精练：1、九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”现有一“阳马”，平面，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（）ABCD2、在三棱锥中，已知平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCD3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2正三角形，分别是，的中点，则球的体积为 4、九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（ ）ABCD5、在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no
3、）已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）ABCD6、三棱锥中，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，且，则三棱锥接球的表面积为ABCD7、若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为ABCD8、在四面体中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为 9、九章算术是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵中，鳖臑的体积为2，则阳马外接球表面积的最小值
4、为_10、在长方体中，四边形是边长为2的正方形，与所成的角是，则长方体的外接球表面积是（ ）ABCD11、已知矩形，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为（ ）ABCD12、在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为_.13、已知三棱锥中，且、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是ABCD外接球墙角模型（长方体，正方体）一、知识要点：墙角模型（长方体，正方体）公式：方法：找三条两两垂直的线段，利用公式，即求出R二、例题精讲：例1长方体的长，宽，高分别为3，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积
5、为（）ABCD【答案】A【解析】球O的半径为，体积故选：A例2已知三棱锥中，底面，则该三棱锥的外接球的体积为（）ABCD【答案】B【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径，该球的体积为故选：B例3已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（ ）AB4CD【答案】B【解析】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B例4据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，且，三棱锥外接球表面积为（）ABCD【答案】
6、B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径所以三棱锥外接球表面积故选：B例5.在正三棱锥中，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等设，则根据，得，解得设三棱锥外接球的半径为，则，所以故所求外接球的表面积为故选：A例6.如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（）ABCD【答案】D【解析】因为在中，分别是棱的中点，所以，因为，所以，因为三棱锥为正三棱锥，所以（对棱垂直），又因为面，所以面，因为面，所以，在中，因为三棱锥为正三棱锥，所以是等腰三角形
7、，是等边三角形，所以，所以，即，所以两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为，则该正方体棱长为，外接球半径，正方体外接球体积，此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同，为故选：D三、习题精练：1、九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”现有一“阳马”，平面，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同因为长方体外接球的半径，所以该“阳马”外接球的表面积为：故选：C2、在三棱锥中，已知平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】A【解
8、析】由平面，知三棱锥可补形为以，为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以故选：A3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2正三角形，分别是，的中点，则球的体积为【解答】解：如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，又，可得平面，则，分别是，的中点，又，即，得平面，正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径，则球的体积为故答案为：4、九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，若三棱锥的所有顶点都在球上
9、，则球的半径为（ ）ABCD【答案】A【分析】将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.【详解】由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球.外接球的半径为故选：A5、在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no）已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【分析】将问题转化为棱长为的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图所示，鳖臑的外接球即为棱长为的正方体的外接球，该鳖臑的外接球半径，该外接球表面积.故选：C.6、在三棱锥中，是边
10、长为2的正三角形，分别是，的中点，且，则三棱锥接球的表面积为ABCD【解答】解：在三棱锥中，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，且，所以，为中位线，又，平面平面，且则，两两垂直如图将补成一个正方体外接球半径，故选：7、若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为ABCD【解答】解：正方体外接球的球心在体对角线的中点，设半径为，则，即，所以球的表面积为故选：8、在四面体中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为 【解答】解：是以为斜边的等腰直角三角形，又平面平面，平面平面，平面，则，可得、两两相互垂直，且，以为顶点，以、为过点的三条棱
11、构造正方体，可得四面体外接球的半径，四面体的外接球的表面积为故答案为：9、（外接球与基本不等式综合）九章算术是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵中，鳖臑的体积为2，则阳马外接球表面积的最小值为_【答案】【分析】【详解】由于“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，故可知阳马外接球球心为的中点，且为外接球的直径. 鳖臑的体积为，故堑堵的体积为.设，依题意.而，故阳马外接球表面积为，由基本不等式得，即阳马外接球表面
12、积的最小值为.10、在长方体中，四边形是边长为2的正方形，与所成的角是，则长方体的外接球表面积是（ ）ABCD【答案】A【详解】如图，在长方体中，相交直线与所成的角是异面直线与所成的角.连接，由平面，得.在RtABD1中，就是与所成的角，即，又，在中， ，设长方体外接球半径为，则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得，长方体外接球表面积是答案：11、已知矩形，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为（ ）ABCD【答案】C【详解】由题意翻折可得几何体中：,即三棱锥可以补成以PB,PC,PE为边的长方体，其对角线为外接球的直径：故外接球的表面积为：故选12、在三棱锥
13、中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为_.【答案】 【详解】三棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为又，从而，于是，的外接圆半径为故球心到面的距离为从而，点到面距离的最大值是故答案为：13、已知三棱锥中，且、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（ ）ABCD【答案】C【详解】三棱锥，满足两两垂直，且，如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，设平面的法向量，则，取，得，三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，是三棱锥外接球上一动点，由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，点到平面的距离最大，点到平面的距离的最大值为.故选C.
