1、第四章综合检测题 考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知为第二象限角，sin 35，则 sin 2(A)A2425 B1225 C1225 D2425 解析 此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式 sin 35，2，cos 135245，sin 22sin cos 23545 2425.2若 a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则 ab 等于(A)A 22 B12 C 32 D12 解析 abcos 60cos 15sin 60si
2、n 15 cos(6015)cos 45 22.3.2cos 10sin 20sin 70的值是(C)A12 B 32 C 3 D 2 解析 原式2cos3020sin 20sin 70 2cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.4若sin cos sin cos 12，则 tan 2(B)A34 B34 C43 D43 解析 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”由sin cos sin cos 12得tan 1tan 112即 2tan 2tan 1，tan 3，tan 2 2tan 1tan2231326834，“弦”化“切
3、”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想 5ysin2x3 sin 2x 的一个单调递增区间是(B)A6，3 B12，712 C512，1312 D3，56 解 析 y sin2x3 sin 2x sin 2xcos 3 cos 2xsin 3 sin 2x sin 2xcos3 cos 2xsin3 sin2x3，其增区间是函数 ysin2x3 的减区间，即 2k2 2x3 2k32(kZ)，k12xk712(kZ)，当 k0 时，x12，712.6已知 tan()25，tan4 322，则 tan4(B)A15 B14 C1318 D1322 解析 tan4 tan4 tantan41ta
4、ntan425 322125 32214.7若 sin6 13，则 cos23 2(A)A79 B13 C13 D79 解析 cos23 2 2cos23 1 6 3 2，cos3 sin6 13.cos23 2 2132179.8将函数 f(x)12sin 2xsin3 cos2xcos3 12sin2 3 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，则函数 g(x)在0，4 上的最大值和最小值分别为(C)A12，12 B14，14 C12，14 D14，12 解析 f(x)12 32 sin 2x12cos2x12sin56 34 sin 2x12cos2
5、x14 34 sin 2x121cos 2x21412sin2x6，所以 g(x)12sin4x6.因为 x0，4，所以 4x6 6，76，所以当 4x6 2，即 x12时，g(x)取得最大值12；当 4x6 76，即 x4时，g(x)取得最小值14.二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分)9(2021潍坊高一检测)已知(0，)，sin cos 15，则下列结论正确的是(ABD)A2，Bcos 35 Ctan 34 Dsin cos 75 解析 因为 sin
6、 cos 15，两边平方得 12sin cos 125，解得 sin cos 1225，所以 sin，cos 异号，又因为(0，)，所以2，故 A 正确；因为(sin cos)212sin cos 4925且2，所以 sin cos，故 sin cos 75，故 D 正确；由 sin cos 15，sin cos 75，得 sin 45，cos 35.所以 tan sin cos 43.故 B 正确，C 错误 10(2021南京高一检测)已知，是锐角，cos 55，cos()3 1010，则cos(AC)A 22 B7 210 C 210 D 22 解析 由是锐角，cos 55 得 sin 2
7、 55，又，是锐角，则2，0 得2，2，又 cos()3 1010，则 sin()1010，则 cos cos()cos cos()sin sin()55 3 1010 2 55 1010 3 22 210得 cos 22 或 cos 210，故选 AC 11已知函数 f(x)2sin xcos x2sin2x，给出下列四个选项，正确的有(AB)A函数 f(x)的最小正周期是 B函数 f(x)在区间8，58上单调递减 C函数 f(x)的图象关于点8，0 对称 D函数 f(x)的图象可由函数 y 2sin 2x 的图象向右平移8 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到 解析 f(x)2sin
8、xcos x2sin2x11sin 2xcos 2x1 2sin2x4 1因为2，所以 f(x)的最小正周期 T，故 A 正确当 x8，58时，2x4 2，32，则函数 f(x)在8，58上单调递减，故 B 正确正弦曲线的对称中心为(k，0)，kZ，所以 f(x)图象的对称中心为k2 8，1，kZ，所以函数 f(x)图象的一个对称中心为8，1，故 C 不正确函数 f(x)的图象可由函数 y 2sin 2x 的图象向左平移8 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度得到，故 D 不正确 12已知函数 f(x)sin xsinx3 14的定义域为m，n(mn)，值域为12，14，则 nm 的值不可能
9、是(CD)A512 B712 C34 D1112 解析 f(x)sin xsinx3 14sin x12sinx 32 cos x 1412sin2x 32 sin xcos x1414(1cos 2x)34 sin 2x1412 32 sin 2x 12cos 2x 12sin2x6.作出函数 f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，易得 m2，56 n76 或 2 m56，n76.所以 nm 的值可能为区间3，23内的任意实数故选 CD 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13tan 21tan 39 3tan 21tan 39 3.解析 tan(2139)
10、tan 60 3，tan 21tan 391tan 21tan 39 3.tan 21tan 39 3tan 21tan 39 3.14函数 f(x)sin22x4 的最小正周期是 2 .解析 本题考查了倍角公式及三角函数的性质 f(x)sin22x4 1cos4x22 12sin 4x12，T24 2.15cos11cos211 cos311 cos411 cos511 132.解析 原式cos11cos211 cos411 cos811 cos511 25sin11cos11cos211 cos411 cos811 cos51125sin11 2sin1611 cos51125sin112
11、sin511 cos51125sin11sin101125sin11 132.16 对 于 集 合 1，2，n 和 常 数 0，定 义：cos210cos220cos2n0n为集合1，2，n相对于0 的“余弦方差”已知集合3，23，相对于任何常数0 的“余弦方差”是一个常数，则这个常数是 12.解析 方法一 当集合3，23，时，集合相对于常数0的“余弦方差”cos23 0 cos223 0 cos203 12cos 0 32 sin 0212cos 0 32 sin 02cos203 12cos2032sin20cos203 12.方法二 当集合3，23，时，cos23 0 cos223 0
12、cos203 cos23 20 12cos43 20 12cos220123 3cos 20cos3 cos 20sin3 sin 20cos23 cos 20sin23 sin 206 3cos 20cos 20 32 sin 20 32 sin 206 3612.四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知0，2.(1)若 sin 55，求 sin6 的值；(2)若 cos6 55，求 sin 的值 解析(1)因为 sin 55，0，2，所以 cos 2 55，所以 sin6 32 sin 12cos 1510 2 5
13、10 152 510.(2)因为0，2，所以6 6，23，又因为 cos6 55，所以 sin6 2 55，所以 sin sin6 6 32 sin6 12cos6 2 1510 510 2 15 510.18(本小题满分 12 分)已知 tan 2.(1)求 tan4 的值；(2)求sin 2sin2 sin cos cos 21的值 解析(1)tan 4 tan tan 41tan tan 4 tan 11tan 21123.(2)sin 2sin2sin cos cos 21 2 sin cos sin2sin cos 2cos211 2sin cos sin2sin cos 2cos2
14、 2tan tan2tan 2 222222 1 19(本小题满分 12 分)已知 sinA4 7 210，A4，2.(1)求 cos A 的值；(2)求函数 f(x)cos 2x52sin Asin x 的值域 解析(1)因为4 A2，且 sinA4 7 210，所以2 A4 34，cosA4 210.因为 cos AcosA4 4 cosA4 cos4 sinA4 sin4 210 22 7 210 22 35，所以 cos A35.(2)由(1)可得 sin A45.所以 f(x)cos 2x52sin Asin x 12sin2x2sin x2sin x12232.因为 sin x1,
15、1，所以当 sin x12时，f(x)取最大值32；当 sin x1 时，f(x)取最小值3.所以函数 f(x)的值域为3，32.20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)Asinx3，xR，且 f512 3 22.(1)求 A 的值；(2)若 f()f()3，0，2，求 f6 .解析(1)f512 Asin512 3 Asin34 3 22，A3 22 23.(2)由(1)得：f(x)3sinx3，f()f()3sin3 3sin3 3sin cos3 cos sin3 3sincos3 cossin3 6sin cos3 3sin，而 f()f()3，所以 sin 33，又因为0，2
16、所以 cos 1sin21332 63，所以 f6 3sin6 3 3sin2 3cos 6.21(本小题满分 12 分)设 aR，f(x)cos x(asin xcos x)cos22 x 满足 f3f(0)，求函数 f(x)在4，1124上的最大值和最小值 解析 f(x)cos x(asin xcos x)cos22 x asin xcos xcos2xsin2x a2sin 2xcos 2x.f3 f(0)，a2sin23cos231a2 3.f(x)3sin 2xcos 2x 232 sin 2x12cos 2x 2sin2x6.x4，1124，3 2x6 34.22 sin2x6 1
17、 22sin2x6 2.函数 f(x)的最大值为 2，最小值为 2.22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2 上的最大值和最小值；(2)若 f(x0)65，x04，2，求 cos 2x0的值 解析(1)由 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1，得 f(x)3(2sin xcos x)(2cos2x1)3sin 2xcos 2x2sin2x6.所以函数 f(x)的最小正周期为.因为 f(x)2sin2x6 在区间0，6 上为增加的，在区间6，2 上为减少的又f(0)1，f6 2，f2 1，所以函数 f(x)在区间0，2 上的最大值为 2，最小值为1(2)由(1)可知 f(x0)2sin2x06.又因为 f(x0)65，所以 sin2x06 35.由 x04，2，得 2x06 23，76.从而 cos2x06 1sin22x06 45.所以 cos 2x0cos2x06 6 cos2x06 cos6 sin2x06 sin6 34 310.
