1、第4章 概率与统计 知识系统整合 规律方法收藏1条件概率及事件的相互独立性(1)条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率(2)条件概率的性质0P(B|A)1；P(A|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)(3)乘法公式：由条件概率的计算公式P(B|A)可知，P(BA)P(A)P(B|A)(4)全概率公式：一般地，如果样本空间为，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且BBB(A)BAB，P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)，这称为全概率公式(
2、5)贝叶斯公式：一般地，当1P(A)0且P(B)0时，有P(A|B)，这称为贝叶斯公式(6)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立2离散型随机变量的分布列(1)分布列一般地，当离散型随机变量X的取值范围是x1，x2，xn时，如果对任意k1,2，n，概率P(Xxk)pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列Xx1x2xkxnPp1p2pkpn离散型随机变量的分布列必须满足：pk0，k1,2，n；pk1.(
3、2)两点分布两点分布也称01分布，它只有两个试验结果0和1，其分布列为W10Pp1p(3)二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q1p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是0,1，k，n，而且P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1，n.这时称X服从参数为n，p的二项分布，记为XB(n，p)3离散型随机变量的均值与方差(1)均值与方差一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：Xx1x2xkxnPp1p2pkpn则称E(X)x1p1x2p2xnpnipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)；D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2
4、p2xnE(X)2pn为离散型随机变量X的方差(2)均值与方差的性质若X与Y都是离散型随机变量，且YaXb(a0)，则E(Y)aE(X)b；D(Y)a2D(X)(3)两点分布与二项分布的均值与方差若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)4正态分布(1)正态分布：一般地，如果随机变量X落在区间a，b内的概率，总是等于，(x)对应的正态曲线与x轴在区间a，b内围成的面积，则称X服从参数为与的正态分布，记作XN(，2)(2)正态分布的3原则：如果XN(，2)，那么P(X)P(X)50%，P(|X|)P(X)68.3%，P(|X|2)P
5、(2X2)95.4%，P(|X|3)P(3X3)99.7%.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，并简称之为3原则5一元线性回归模型(1)回归分析概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法回归分析的基本步骤：a画出两个变量的散点图；b求回归方程；c用回归方程进行预报(2)一元线性回归模型在线性回归方程x中， .其中i，i，(，)称为样本的中心注意理解以下几点：确定线性相关关系线性相关关系有两层含义：一是具有相关关系，如广告费用与销售量的关系等在一定条件下具有相关关系，而气球的体积与半径的关系是函数关系，而不是相关关系；二是具有
6、线性相关关系判断是否线性相关的依据是样本点的散点图回归方程的应用 利用回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结果不是准确值，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结果的正确率是最大的，所以可以大胆地利用回归方程进行预测借助散点图可以直观地看出两个变量之间是否有相关关系用最小二乘法思想建立的线性回归方程，能定量地描述两个变量的关系6独立性检验(1)独立性检验是对两种事件之间是否有关系进行检验利用随机变量2来确定在多大程度上可以认为“两个随机事件有关系”的方法称为两个随机事件的独立性检验(2)使用2统计量作22列联表的独立性检验的一般步骤：采集数据，列22列联表，并检查22列联表中的数据是否符合要求
7、；根据公式2计算出2的值；比较上述2的值与相关的临界值，作出相应的判断. 学科思想培优一、条件概率在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解在计算时，在事件A发生的前提下缩减基本事件总数，求出其包含的基本事件数，再在这些基本事件中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，然后利用古典概型公式求得条件概率 典例1有20件产品，其中5件
8、是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率解记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A).(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)P(A)P(B).(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A).二、相互独立事件与独立重复试验若A，B为相互独立的事件，则与B，A与，与分别相互独立，则有P(B)P()P(B)，P(A)P(A)P()，P()P()P()；若A1，A2，A3，An相互独立，则P(A1
9、A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)独立重复试验是相互独立事件的特例典例2甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响求：(1)乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率解设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)P(1B1)P(112B2)P(11223B3)P(1)P(B1)P(1)P(1)P(2)P(B2
10、)P(1)P(1)P(2)P(2)P(3)P(B3)2233.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)P(112B2)P(1122A3)P(1)P(1)P(2)P(B2)P(1)P(1)P(2)P(2)P(A3)2222.典例3某电视台举办闯关活动，甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为，乙成功的概率为.(1)甲参加了3次闯关，求至少有2次闯关成功的概率；(2)若甲、乙两人各进行2次闯关，记两人闯关成功的总次数为X，求X的分布列解(1)甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为，乙成功的
11、概率为.所以甲参加了3次闯关，至少有2次闯关成功的概率P3C2.(2)甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为，乙成功的概率为.甲、乙两人各进行2次闯关，记两人闯关成功的总次数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，P(X0)22，P(X1)C22C，P(X2)2222CC，P(X3)C22C，P(X4)22，所以X的分布列为X01234P三、离散型随机变量的分布列及均值、方差均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识
12、的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(Xk)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X)；(5)由方差的定义，求D(X)典例4一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数解(1)由古
13、典概型中的概率计算公式知所求概率为p.(2)X的所有可能取值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，故X的分布列为X123P从而E(X)123.典例5甲、乙两人掷一枚质地均匀的硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为.(1)分别求与的期望与方差；(2)规定：若，则甲获胜；若，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率解(1)依题意，B，B，所以E()3，D()31，E()21，D()21.(2)P(0)C3，P(1)C3，P(2)C3，P(3)C3；P(0)C2，P(1)C2，P(2)C2.甲获胜的情况有1，0；2，0,1；3，0，1,2，所以甲
14、获胜的概率为P1.乙获胜的情况有1，0；2，0,1，所以乙获胜的概率为P2.四、有关正态分布的问题对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求了解正态分布中的最基础的知识正态变量在(，)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间3，3之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生典例6某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩在550600分的人数解考生成绩XN(500,502)，500，50，P(550X600)P(500250X500250)P(500500)，若X在(0,2)内取值
15、的概率为0.2，求：(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X4)解(1)由于XN(2，2)，对称轴x2，画出示意图，P(0X2)P(2X4)，P(0X4)2P(0X4)1P(0X4)(10.4)0.3.六、分类讨论思想在分布列求解中的应用典例8某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列和数学期望；(2)求这位挑
16、战者总得分不为负分(即0)的概率解(1)三个问题均答错，得00(10)10(分)三个问题均答对，得10102040(分)三个问题一对两错，包括两种情况：前两个问题一对一错，第三个问题错，得100(10)0(分)；前两个问题错，第三个问题对，得002020(分)三个问题两对一错，也包括两种情况：前两个问题对，第三个问题错，得1010(10)10(分)；第三个问题对，前两个问题一对一错，得2010030(分)故的可能取值为10,0,10,20,30,40.P(10)0.20.20.40.016；P(0)C0.20.80.40.128；P(10)0.80.80.40.256；P(20)0.20.20
17、.60.024；P(30)C0.80.20.60.192；P(40)0.80.80.60.384.所以的分布列为10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384E()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424.(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P(0)1P(10.828.故至少有99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关九、化归与转化思想在非线性回归分析中的应用典例11下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点
18、图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型；(3)利用所得模型，预测x40时y的值解(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令zln y，则有变换后的样本点应分布在直线zbxa，aln c1, bc2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程，数据可以转化为x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为0.272x3.849，e0.272x3.849.(3)当x40时，e0.272x3.8491131.
