1、微专题22抽象函数问题一、单项选择题12023河北衡水模拟已知函数yf(x)的定义域为0，4，则函数y(x2)0的定义域是()A(1，5 B(1，2)(2，5) C(1，2)(2，3 D(1，322023江苏镇江模拟若函数yf(2x)的定义域为2，4，则yf(x)f(x)的定义域为()A2，2 B2，4 C4，4 D8，832023安徽铜陵模拟已知函数yf(x)，xN，满足以下条件：f(ab)f(a)f(b)ab，其中a，bN；f(2)3.则f(2023)()A20232024B20222023C10132023D1012202342023广东揭阳模拟已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x)
2、f(2x)0，函数f(x1)的图象关于直线x1对称，且f(1)1，则f(2023)()A1B0C1D25已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x4)，且f(x1)是偶函数，则()Af(x)是偶函数Bf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)是奇函数Df(x)的图象关于点(，0)对称62023辽宁沈阳模拟已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x4)f(x)，且满足f(3x1)为奇函数，则下列说法一定正确的是()A函数f(x)图象关于直线x1对称B函数f(x)的周期为2C函数f(x)图象关于点中心对称Df(2023)072023辽宁大连模拟已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)满足：f(x
3、)f(y)f(xy)xy1，若f(1)1，则满足f(n)n(nN)的n的个数是()A1个B2个C3个D4个82023广东珠海模拟已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)f(x).若f(x3)为奇函数，g(2x)为偶函数，且g(0)3，g(1)2，则(i)()A670B672C674D676二、多项选择题9已知定义域为R的函数f(x)满足：x，yR，f(xy)f(xy)f(x)f(y)，且f(1)1，则下列结论成立的是()Af(0)2Bf(x)为偶函数Cf(x)为奇函数Df(2)1102022新高考卷已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)f(x).若f，
4、g(2x)均为偶函数，则()Af(0)0Bg0Cf(1)f(4) Dg(1)g(2)答题区题号12345678910答案三、填空题11已知函数f(x)满足f(xy)，且f(1)f(3)，请写出一个符合上述条件的函数f(x)_12已知定义在R上的函数f(x)满足f(x3)f(x)，g(x)f(x)2为奇函数，则f(198)_132023安徽合肥模拟若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)f(x1)f(x1)，且f(1)2，则f(2024)_142023河北张家口模拟已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，且f(x2)为奇函数，f(2x)f(x)2，f(2)2，则(i)_微专题22抽象函
5、数问题1解析：因为函数yf(x)的定义域为0，4，又函数y(x2)0有意义，则有，解得1x2或2xx20且均属于N*，则f(x2)f(1)f(x1)x21，所以f(x1)f(x2)x220，故f(x21)f(x1)f(x2)x22，又f(1)1，故f(x)0在xN*上恒成立，且f(x)在xN*上单调递增，所以，满足f(n)n(nN)仅有f(1)1，即n仅有1个故选A.答案：A8解析：f(x3)为奇函数，f(x3)f(x3)，f(x3)f(x3)，即：f(x3)f(x3)，又g(x)f(x)，g(x3)g(x3)，又g(2x)为偶函数，g(2x)g(2x)，将中2x换成x得：g(x)g(x)，将
6、中x换成x得：g(x)g(3x)，由得：g(x)g(x3)，g(x)的一个周期为3，g(3)g(0)3，将x代入得：g(1)g(2)2，g(1)g(2)g(3)2231，又202336741，(i)6741g(1)6742676.故选D.答案：D9解析：因为x，yR，f(xy)f(xy)f(x)f(y)，取x1，y0可得f(1)f(1)f(1)f(0)，又f(1)1，所以f(0)2，A对；取x0，yx可得f(x)f(x)f(0)f(x)，因为f(0)2，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对；取x1，y1可得f(2)f(0)f(1)f(1)，又f(1)1，f(0)2，所以f(2
7、)1，D对故选ABD.答案：ABD10解析：因为f(2x)，g(2x)均为偶函数，所以f(2x)f(2x)，g(2x)g(2x).令t2x，则x，所以f(t)f(3t)，即f(x)f(3x).对两边求导，得f(x)f(3x)，即g(x)g(3x)0，所以g(x)的图象关于点(，0)对称，即g()0.又因为g(2x)g(2x)，所以g(x)的图象关于直线x2对称，所以g(x)的周期为4(2)2，所以g()g()0，所以B正确因为f(2x)f(2x)，所以f(2x)f(2x)C，其中C为常数，所以f(2x)f(2x)C，所以f(x)的图象关于点(2，)对称又因为f(x)f(3x)，所以f(x)的图
8、象关于直线x对称，所以f(x)的周期为4(2)2，所以f(1)f(1)，f(4)f(2).又因为f(x)f(3x)，所以f(1)f(2)，所以f(1)f(4)，所以C正确g(x)的图象不关于直线x对称，所以D错误因为f(0)f(2)，所以当C0时，f(0)0，当C0时，f(0)0，所以A错误故选BC.答案：BC11解析：令f(x)2x，显然f(x)2x在定义域上单调递增，满足f(1)f(3)，且f(xy)2xy，即满足f(xy)，所以f(x)2x符合题意答案：2x(答案不唯一)12解析：g(x)为定义域为R的奇函数，g(0)f(0)20，解得：f(0)2；由f(x3)f(x)得：f(x6)f(
9、x3)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(198)f(336)f(0)2.答案：213解析：由f(x)f(x1)f(x1)，得f(x1)f(x2)f(x)，所以f(x)f(x1)f(x2)f(x)，即f(x1)f(x2)，于是有f(x)f(x3)，所以f(x3)f(x6)，即f(x)f(x6).所以函数f(x)的周期为6.因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)f(0)，即f(0)0.令x1，则f(1)f(2)f(0)，解得f(2)f(1)f(0)2，所以f(2024)f(33762)f(2)2.答案：214解析：由f(x2)为奇函数，得f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x2)，又因为f(2x)f(x)2，所以f(x2)f(x)2，所以f(x4)f(x2)2所以f(x)f(x4)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(2)2，所以将x2代入得：f(4)f(2)2，解得：f(4)0，将x1代入得：f(1)f(1)2，解得：f(1)1，将x1代入得：f(3)f(1)1，所以f(1)f(2)f(3)f(4)12104，又因为504122，所以(i)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1241251.答案：51
