1、考点突破练3三角函数与解三角形1.(2022河南开封一模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(acos C+ccos A)=a+c.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)求B的最大值.2.(2022北京海淀一模)设函数f(x)=2sin xcos x+Acos 2x(AR).已知存在A使得f(x)同时满足下列三个条件中的两个:条件:f(0)=0;条件:f(x)的最大值为2;条件:x=8是f(x)图象的一条对称轴.(1)请写出f(x)满足的两个条件,并说明理由;(2)若f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,求m的取值范围.3.(2022安徽蚌埠质检)在ABC中,内角A,
2、B,C的对边分别为a,b,c,A=120,点D在边BC上,满足CD=2BD,且sinBADb+sinCADc=332a.(1)求证:AD=13a;(2)求角C.4.(2020全国理17)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.5.(2022广东茂名一模)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75距离60海里处,小岛B北偏东15距离(303-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.6.(2022北京信息题)在ABC中
3、,B=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=17.求:(1)sinBAD;(2)BD,AC的长.7.(2022安徽高考冲刺)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acos B=2c+b.(1)求A;(2)若a=4,b+c=32,求ABC的面积.8.(2022陕西西安四区县联考)已知锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若sin Asin Bsin C=32(sin2A+sin2B-sin2C).(1)求sin C;(2)若c=3,求ABC周长的取值范围.考点突破练3三角函数与解三角形1.(1)证明 由已知及正弦定理,得2(sin Acos C
4、+sin Ccos A)=sin A+sin C,即2sin(A+C)=sin A+sin C,2sin B=sin A+sin C,再由正弦定理,得2b=a+c,a,b,c成等差数列.(2)解 由2b=a+c,得4b2=a2+c2+2ac,cos B=a2+c2-b22ac=3a2+3c2-2ac8ac6ac-2ac8ac=12,当且仅当a=c时等号成立,所以cos B取最小值为12,又0B,所以B取最大值为3.2.解 (1)函数f(x)=2sin xcos x+Acos 2x=sin 2x+Acos 2x=1+A2sin(2x+)tan =A,-2,2.对于条件:若f(0)=0,则A=0,
5、对于条件:f(x)max=2,则1+A2=2,解得A=1,不能同时成立,当A=0时,f8=221,即不满足条件,即不同时成立;当A=1时,f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4,f8=2,即满足条件;当A=-1时,f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin2x-4,f8=0,即不满足条件.综上可得,存在A=1满足条件.(2)由(1)得f(x)=2sin2x+4,当0xm时,42x+40,f2m+40,则2m+42,解得38m78,即m的取值范围是38,78.3.(1)证明 SABD+SACD=SABC,12cADsinBAD+12bADsinCAD=12bcsinBAC,c
6、ADsinBAD+bADsinCAD=32bc,故sinBADb+sinCADc=32AD=332a,AD=13a.(2)解 由题意知BD=13a,CD=23a,在ABC中,由余弦定理得a2=c2+b2+bc,在ABD中,cosADB=AD2+BD2-AB22ADBD,在ACD中,cosADC=AD2+CD2-AC22ADCD,由ADB+ADC=,知cosADB+cosADC=0,即a2=b2+2c2,由得,b=c=33a,即C=30.4.解 (1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A.由得cos A=-12.因为0A
7、,所以A=23.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sin B,AB=23sin(-A-B)=3cos B-3sin B.故BC+AC+AB=3+3sin B+3cos B=3+23sinB+3.又0B3,所以当B=6时,ABC周长取得最大值3+23.5.解 (1)在ABC中,AB=60,BC=303-30,ABC=180-75+15=120,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=602+(303-30)2-260(303-30)cos 120=5 400.AC=306,小岛A到小岛C的最短距离是306海里.(2)由正
8、弦定理,得ACsinABC=ABsinACB,306sin120=60sinACB,解得sin ACB=22,在ABC中,BCAC,ACB为锐角,ACB=45,CAB=180-120-45=15,由75-15=60得游船应该沿北偏东60的方向航行.答:小岛A到小岛C的最短距离是306海里;游船应该沿北偏东60的方向航行.6.解 (1)B=3,cosADC=17,sinADC=437,sinBAD=sin(ADC-B)=12sinADC-32cosADC=4314-314=3314.(2)在ABD中,由正弦定理得ABsinBDA=BDsinBAD,BD=ABsinBADsinBDA=ABsinB
9、ADsinADC=83314437=3.则BC=BD+DC=3+2=5,在ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=64+25-40=49,AC=7.7.解 (1)由正弦定理及2acos B=2c+b,得2sin Acos B=2sin C+sin B,所以2sin Acos B=2sin(A+B)+sin B,即2sin Acos B=2sin Acos B+2cos Asin B+sin B.所以2cos Asin B+sin B=0.因为sin B0,所以cos A=-12,又A(0,),所以A=23.(2)a=4,b+c=32,由余弦定理得a2=b2+c2-
10、2bccos A=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,即16=18-bc,则bc=2.于是SABC=12bcsin A=12232=32,所以ABC的面积为32.8.解 (1)sin Asin Bsin C=32(sin2A+sin2B-sin2C),由正弦定理得absin C=32(a2+b2-c2)=3abcos C,tan C=3.C为锐角,C=3,sin C=32.(2)由2R=csinC=332=2,得R=1.ABC周长为a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C)=2sin A+sin B+32,sin A+sin B=sin A+sin23-A=32sin A+32cos A=3sinA+6,由题意A0,2,23-A0,2,
