1、河北省邯郸市2015届高三上学期1月质检文科数学【试卷综述】重点考查基本知识和基本技能，侧重通性通法 注重对基本知识和基本技能的考查，重点考查通性通法，避免偏题、怪题，适当控制运算量，加大思考量，在大题中，每个题的难度按照由易到难的梯度设计，学生入口容易，但是又不能无障碍的获得全分，本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力.【题文】一、选择题【题文】1.已知集合则A B. C. D.【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C 解析：A=x|-4x0，b0)的一条渐近线为，则它的离心率为()A. B.C. D.【知识点】双曲
2、线的几何性质. H6【答案】【解析】B 解析：由已知得,故选B. 【思路点拨】根据已知得关于a,b,c的方程组，解得离心率. 【题文】5.执行如右图所示的程序框图,若输入的值等于7,则输出的的值为A.15 B.16 C.21 D.22【知识点】程序框图的准确阅读与理解. L1【答案】【解析】B 解析：图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3;(3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.所以输入的值等于7，那么输出的值为16.故选B. 【思路点拨】根据程序框图描述的
3、意义，依次写出循环结果，得输入的n值. 【题文】6. 已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定目标函数的最大值为A B C D 【知识点】向量的数量积；线性规划问题. F3 E5【答案】【解析】C 解析：，画出可行域，平移目标函数得点（2,2）为最优解，所以的最大值为，故选C. 【思路点拨】利用向量数量积的虚部形式，变形目标函数，画出可行域，平移目标函数得，目标函数取得最大值的最优解. 【题文】7. 在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为 A B C D【知识点】异面直线所成的角 G11【答案】【解析】C 解析：设
4、底面对角线的交点为O，可知OE平行于PC，所以OE与EB所成的角即为异面直线PA与BE所成的角，又因为BO垂直于面PAC，所以角EOB为直角，所以三角形EOB为等腰直角三角形，所以角OEB为，所以C正确.【思路点拨】由异面直线所成角的定义可平移直线，再根据三角形求出角.【题文】8. 已知，A是由直线与曲线围成的封闭区域，用随机模拟的方法求A的面积时，先产生上的两组均匀随机数，和，由此得N个点，据统计满足的点数是，由此可得区域A的面积的近似值是A. B. C. D. 【知识点】微积分定理；几何概型 B13 K3【答案】【解析】B 解析：由题意可知A是由直线与曲线围成的封闭区域，可通过积分求出其在
5、上的面积为，即，而A的面积是上的面积的2倍，所以面积为，所以B正确.【思路点拨】由微积分定理可直接求出面积.【题文】9.下列三个数，大小顺序正确的是A. B. C. D.【知识点】函数的单调性比较数值的大小. B3 【答案】【解析】C 解析：设函数，由，所以分f(x)是的减函数，又，所以【思路点拨】构造函数f(x)=lnx-x,利用此函数的单调性，确定a,b,c的大小顺序.【题文】10.已知等差数列中，前10项的和等于前5的和，若则 10 9 8 2 【知识点】等差数列的性质. D2 【答案】【解析】A 解析：+=2，所以=0，所以m+6=2=16，所以m=10,故选A. 【思路点拨】根据等差
6、数列的性质求解. 【题文】11某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.10 B.20 C.40 D.60【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】B 解析：由三视图可知此几何体是四棱锥P-ABCD如图，其中四边形ABCD是边长为5 的正方形，有一个侧面与底面垂直，且以P为直角顶点，两直角边长分别为3,4的直角三角形，所以该几何体的体积为,故选 B. ：【思路点拨】由三视图得此几何体的直观图，及此几何体的某些边长和边间位置关系，从而求得此几何体的体积. 【题文】12. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程 ()，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是A B.C
7、D.或【知识点】偶函数的性质；二次方程的实根分布. B4 B5 【答案】【解析】C 解析：当时，且是上增函数；当时，且是上减函数. 令，则要使关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，根据函数f(x)的对称性，需使关于t的方程有两个不同实根，且：（1）或（2）或（3），由（1）得，由（2）得，由（3）得. 所以实数的取值范围是：.故选C. 【思路点拨】画出函数f(x)的图像，求得函数f(x)的值域，结合图像与值域得，要使关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，需使需使关于t的方程有两个不同实根，且：（1）或（2）或（3），由此解得a范围. 【题文】二、填空题【题文】13.如图，正六边形的边长为，
8、则_【知识点】向量的数量积. F3【答案】【解析】 解析：因为，夹角120，所以.【思路点拨】结合正六边形的性质求出两向量的模及夹角，再由向量数量积的定义求解. 【题文】14. 已知，则的最小值为 【知识点】基本不等式法求最值. E6 【答案】【解析】3 解析：由得x+y=3,所以，当且仅当()时等号成立.【思路点拨】由得x+y=3,然后构造使用基本不等式的条件求得结论.【题文】15. 已知圆，过点作的切线，切点分别为，则直线的方程为 .【知识点】直线与圆的位置关系；直线的方程. H1 H4【答案】【解析】2x+3y-4=0 解析：以O(0，0),A(2，3)为直径端点的圆的方程为：X(x-2
9、)+y(y-3)-0即，与圆相减得：2x+3y-4=0，所以直线的方程为2x+3y-4=0【思路点拨】根据以OA为直径的圆与已知圆的交线就是直线OQ 得结论. 【题文】16. 如图，在中，,D是AC上一点，E是BC上一点，若.,则BC= 【知识点】余弦定理；勾股定理；平行线分线段成比例定理. C8 N1【答案】【解析】 解析：取BD中点F，BE中点G，连接AF、FG，可得,FG是BDE的中位线，所以FGDE，所以A、F、G三点共线，设AB=a,则BD=2a,AD=，由，在BDC中，由余弦定理得=93，所以BC= . 【思路点拨】取BD中点F，BE中点G，连接AF、FG，证明A、F、G三点共线，
10、由已知及平行线分线段成比例定理得线段AD的长，从而得线段BD长，然后在BDC中，由余弦定理求得BC长. 【题文】三解答题【题文】17. (本小题满分10分)等差数列中，公差且成等比数列，前项的和为.（1） 求及.（2） 设，求【知识点】等差数列的概念与等比数列的概念；数列的前n项和公式 D1 D4【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）有题意可得又因为 2分 4分（2） 6分 10分【思路点拨】由等比中项的性质可求出数列的公差，再写出通式公式与前n项和公式，根据的特点可利用裂项求和法求出【题文】18. (本小题满分12分)已知（1）求函数的最小正周期及单调递增区间.（2）当时，方程有实数解
11、，求实数的取值范围.【知识点】三角函数的性质 C4【答案】【解析】(1) 最小正周期为 , 单调递增区间是 (2) 解析： 2分最小正周期为4分令.函数的单调递增区间是，由， 得函数的单调递增区间是6分（2）当时， 12分【思路点拨】求三角函数的周期与单调区间先要把解析式化简成一个三角函数式的形式，再根据定义求解，第二问可由单调性直接求出取值范围.【题文】19. (本小题满分12分) 如图， 已知O的直径AB=3，点C为O上异于A，B的一点，VC平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点. （1）求证：BC平面VAC； （2）若直线AM与平面VAC所成角为.求三棱锥B-ACM的体积.【知识点
12、】直线与平面垂直；几何体的体积 G5 G7【答案】【解析】(1)略(2) 解析：（1）证明：因为VC平面ABC，所以VCBC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以ACBC，又因为VC，AC平面VAC，VCAC=C，所以BC平面VAC. 4分（2）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MNBC，由（I）得BC平面VAC，所以MN平面VAC，则MAN为直线AM与平面VAC所成的角.即MAN=，所以MN=AN；6分令AC=a,则BC=，MN=；因为VC=2，M为VC中点，所以AN=， 所以，=,解得a=110分因为MNBC,所以12分【思路点拨】由线面垂直的判定定理可得结果，再利用等体积法可
13、求出体积.【题文】20. (本小题满分12分)从某小区抽取100个家庭进行月用电量调查，发现其月用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）根据直方图求的值，并估计该小区100个家庭的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从该小区已抽取的100个家庭中, 随机抽取月用电量超过300度的2个家庭，参加电视台举办的环保互动活动，求家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率【知识点】统计；概率 I4 K1【答案】【解析】(1)0.0044(2) 解析：（1）由题意得，. 设该小区100个家庭的月均用电量为S则9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=18
14、6.（2） ，所以用电量超过300度的家庭共有6个.分别令为甲、A、B、C、D、E，则从中任取两个，有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）、（A,B)、（A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(C,D)、(C,E)、(D,E)15种等可能的基本事件，其中甲被选中的基本事件有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）5种. 家庭甲被选中的概率. 【思路点拨】由图可直接求出x的值，再列出甲被选中的结果数求出概率.【题文】21. (本小题满分12分)已知椭圆C:过点，离心率为，点分别为其左右焦点.（1）求椭圆C的标准方程;（2)是
15、否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点,且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.【知识点】椭圆的概念；直线与椭圆的位置关系 H5 H8【答案】【解析】(1) (2)存在圆心在原点的圆满足题意解析：（1）由题意得：，得，因为，得，所以，所以椭圆C方程为. 4分（2） 假设满足条件的圆存在，其方程为：当直线的斜率存在时，设直线方程为，由得，令，6分.8分因为直线与圆相切，=所以存在圆当直线的斜率不存在时，也适合.综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意.12分【思路点拨】根据已知条件可求出椭圆方程，再由直线与椭圆的位置关系求出满足题意的圆.【题文】22. (本小题满分12分)已知，函数，(1)若曲线与曲线在它们的交点处的切线重合，求，的值；(2)设，若对任意的，且，都有，求的取值范围【知识点】导数；函数的性质 B11 B12【答案】【解析】(1) (2) 解析： (1)，.，由题意，.又因为，.,得 4分(2)由 可得，令，只需证在单调递增即可8分只需说明在恒成立即可10分即，故， 12分【思路点拨】根据函数的导数可求出a,b的值，再利用导数研究函数的单调性可求a的范围.
