1、高三数学（理）一轮复习 教案 第八编 立体几何 总第42期8.8 立体几何中的向量问题（）空间角与距离基础自测1.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为 .答案 45或1352.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则该二面角的大小为 .答案 603.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .答案 4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长
2、为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为 .答案 5.（2008福建理，6）如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 .答案 例题精讲 例1 （2008海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60.(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小.解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则=（1，0，0），=(0,0,1). 连接BD,BD.在平面BBDD中,延长DP交BD于H.设=(m,m,1) (m0)
3、,由已知,=60,由=|cos, ,可得2m=.解得m=,所以=（,1）.(1)因为cos,=,所以,=45,即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是=(0,1,0).因为cos,=,所以,=60,可得DP与平面AADD所成的角为30.例2 在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离.解 取AC的中点O，连接OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC，SO平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系
4、Oxyz，则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，0），N（0，）.=（3，0），=（-1，0，），=（-1，0）.设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，则，取z=1，则x=,y=-,n=（，-，1）.点B到平面CMN的距离d=.例3 如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45.（1）解 当点E为B
5、C的中点时，EF与平面PAC平行.在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.（2）证明 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，），D（，0，0）.设BE=x，则E（x，1，0），=（x，1，-1）（0，）=0，PEAF.（3）解 设平面PDE的法向量为m=(p,q,1),由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）由，得m=.而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45,sin45=，=,得BE=x=-或BE=x=+（舍去）.故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45巩固
6、练习 1.如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是O的直径，AB=AC=6， OEAD.（1）求二面角B-AD-F的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.解 （1）AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角.依题意可知，ABFC是正方形，BAF=45.即二面角BADF的大小为45;（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），E（0，0，8），F（0，3，0），=（-3，-3，8），=（0
7、，3，-8）.cos,= =-.设异面直线BD与EF所成角为，则cos=|cos,|=.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.2.已知：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.（1）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离.（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），E（2，0），F（，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4）. =（-，0），=（2，2，0），=（0，0，4），=0，=0.EFDB，EFDD1，DD1BD=D，EF平面BDD1B1.又EF平面B1EF，
8、平面B1EF平面BDD1B1.（2）解 由（1）知=（2，2，0），=（-，0），=（0，-，-4）.设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)，则n,n即n=（x，y，z）（-，0）=-x+y=0，n=（x，y，z）（0，-，-4）=-y-4z=0，令x=1,则y=1,z=-,n=(1,1,- )D1到平面B1EF的距离d=.3.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点.（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解 方法一 （1）建立如
9、图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，1)，从而=（，1，0），=（，0，-2）.设与的夹角为，则cos=，AC与PB所成角的余弦值为.（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则=（-x，1-z），由NE平面PAC可得，即,化简得,即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，.方法二 （1）设ACBD=O，连接OE，AE，BD，则OEPB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，由余弦定理得co
10、sEOA=,即AC与PB所成角的余弦值为.(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则ADF=.连接PF,则在RtADF中,DF=,AF=ADtanADF=.设N为PF的中点，连接NE，则NEDF.DFAC，DFPA，DF平面PAC，从而NE平面PAC.N点到AB的距离为AP=1，N点到AP的距离为AF=.回顾总结知识方法思想课后作业 一、填空题1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin,的值等于 .答案 2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为 .答案 3.（2008全国理，11）已知三棱柱ABCA1B1
11、C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 .答案 4.P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角AB的大小为 .答案 905.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为 .答案 6.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AB=BC=AA1，ABC=90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 .答案 607.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长
12、都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 .答案 8.正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 .答案 30二、解答题9.如图所示，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC=90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.解 以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，
13、1）. =（0，2，1），=（1，-2，0）.设平面BDF的一个法向量为n=（2，a，b），n，n，即解得a=1，b=-2.n=（2，1，-2）.设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，cos（-）=,即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.10.在五棱锥PABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，EAB=ABC=DEA=90.（1）求证：PA平面ABCDE；（2）求二面角APDE的余弦值.（1）证明 以A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则由已知得A（0，0，0），P（0，0，2a），B
14、（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0，2a，0）.=（0，0，2a），=（2a，0，0），=（0，2a，0），=02a+00+2a0=0，.同理.又ABAE=A，PA平面ABCDE.（2）解 设平面PAD的法向量为m=(1,y,z),则m=0，得a+2ay=0，y=-.又m=0，得2az=0，z=0.m=（1，-，0）.再设平面PDE的法向量为n=(x,1,z),而=（a，0，0），=（a，2a，-2a），则n=0，得ax=0，x=0.又n=0，得ax+2a-2az=0，z=1.n=（0，1，1）.令二面角APDE的平面角为，则cos=-=，故二面角APDE的余弦值
15、是.11.如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点， OP底面ABC.（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；（2）当k取何值时，二面角OPCB的大小为？解 OP平面ABC，又OA=OC，AB=BC， 从而OAOB，OBOP，OAOP，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.（1）设AB=a，则PA=a，PO=a， A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，0，a），则D（-a，0，a）.=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，cos,=-,则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.（2）设
16、AB=a，OP=h，OB平面POC，=(0，a，0)为平面POC的一个法向量.不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，=(-a,- a,0),=(- a,0,-h),由不妨令x=1，则y=-1，z=-，即n=(1,-1,- ),则cos=2+=4h=a,PA=a,而AB=kPA,k=.故当k=时,二面角OPCB的大小为.12.(2008湛江模拟)如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4， E是棱CC1上的点，且BEB1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C平面BED；（3）求
17、A1B与平面BDE所成角的正弦值.（1）解 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz. D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.BEB1C， =4+0-4t=0.t=1，故CE=1.（2）证明 由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），又=（-2，2，-4），=（2，2，0），=4+0-4=0，且=-4+4+0=0.且，即A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面BDE.即A1C平面BED.（3）解 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,cos,=.A1B与平面BDE所成角的正弦值为.
