1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列曲线中离心率为62的是() A.x22-y24=1B.x24-y22=1C.x24-y26=1D.x24-y210=1解析:双曲线x24-y22=1的离心率e=4+22=62.答案:B2.平面上有两个定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当|PA|-|PB|=|AB|时,点P的轨迹是一条射线,故甲乙,而乙甲,故选B.答案:B3.已知椭
2、圆与双曲线x23-y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为()A.x220+y225=1B.x225+y220=1C.x225+y25=1D.x25+y225=1解析:双曲线x23-y22=1中,a12=3,b12=2,则c1=a12+b12=5,故焦点坐标为(-5,0),(5,0),故所求椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的c=5,又椭圆的离心率e=ca=15,则a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为x225+y220=1.答案:B4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在双曲线C的渐近线上,则双曲线C的方程为()A.x
3、220-y25=1B.x25-y220=1C.x280-y220=1D.x220-y280=1解析:根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.x2a2-y2b2=1的焦距为10,c=5=a2+b2.又双曲线渐近线方程为y=bax,且P(2,1)在渐近线上,2ba=1,即a=2b.由解得a=25,b=5,故选A.答案:A5.(2017全国高考)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32解析:由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=3
4、,所以|PF|=3.又点A的坐标是(1,3),故APF的面积为123(2-1)=32,故选D.答案:D6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()A.x236-y2108=1B.x29-y227=1C.x2108-y236=1D.x227-y29=1解析:抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,故双曲线中c=6.由双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=3x,知ba=3,且c2=a2+b2.由解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为x29-y227=1,故选B.答案:B7.P是长轴在x轴
5、上的椭圆x2a2+y2b2=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D.c2解析:由椭圆的几何性质得|PF1|a-c,a+c,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|PF1|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.答案:D8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不
6、同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-1B.-1C.2D.15解析:由y=kx-2,y2=8x消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故=-4(k+2)2-4k24=64(1+k)0,解得k-1,由x1+x2=4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又k-1,故k=2.答案:C9.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.52D.5解析:双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax,由方程组y=bax,y=x2+1消去y,得x2-bax+1=0有唯一解,所以=ba2-4=0,所以b
7、a=2,所以e=ca=a2+b2a=1+ba2=5,故选D.答案:D10.在抛物线y2=8x中,以(1,-1)为中点的弦的方程是()A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0解析:设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),则y12=8x1,y22=8x2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),又y1+y2=-2,y1-y2x1-x2=-4,弦所在直线的斜率为-4,又过点(1,-1),所求直线方程为4x+y-3=0.答案:C11.如图,南北方向的公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A北偏东60方向23 km处,
8、河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+3)a万元B.(23+1)a万元C.5a万元D.6a万元解析:本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义知,欲求从M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B到直线L的距离即可.B地在A地北偏东60方向23 km处,B到点A的水平距离为3 km,B到直线L的距离为3+2=5(km),那么,修建这两条公路的总费用最低为5a万元,故选C.答案:C12
9、.(2017全国高考)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)解析:由题意,可知当点M为短轴的端点时,AMB最大.当0m3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan 60=3,即3m3,解得03时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan 60=3,即m33,解得m9,综上m的取值范围为(0,19,+),故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(20
10、17北京高考)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.解析:由题意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.答案:214.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,线段F1F2被点b2,0分成31的两段,则此椭圆的离心率为.解析:由题意,得b2+cc-b2=3b2+c=3c-32bb=c,因此e=ca=c2a2=c2b2+c2=12=22.答案:2215.已知抛物线C:y2=2px(p0),过焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A,B两点,若AF=3FB,则k=.解析:设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作
11、AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂直于AA1于E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由AF=3FB,cosBAE=|AE|AB|=12,BAE=60,tanBAE=3,即k=3.答案:316.以下四个关于圆锥曲线的命题:设A,B为两个定点,k为非零常数,|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;双曲线x225-y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点.其中正确命题的序号是.解析:双曲线的定义是
12、:平面上与两个定点A,B的距离的差的绝对值为常数2a,且02a0,b0),又双曲线过点(0,2),c=5,a=2,b2=c2-a2=25-4=21,双曲线的标准方程是y24-x221=1,实轴长为4,焦距为10,离心率e=ca=52,渐近线方程是y=22121x.18.(本小题满分12分)若已知椭圆x210+y2m=1与双曲线x2-y2b=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P103,y,求椭圆及双曲线的方程.解由椭圆与双曲线有相同的焦点,得10-m=1+b,即m=9-b,由点P103,y在椭圆、双曲线上,得y2=89m,y2=b9,解由组成的方程组得m=1,b=8,椭圆方程为x210+y2=
13、1,双曲线方程为x2-y28=1.19.导学号01844027(本小题满分12分)(2017全国高考)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2 NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2 NM得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-
14、3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQPF=0,即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.20.导学号01844028(本小题满分12分)(2017北京高考)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM
15、的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.(1)解设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m),直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所
16、以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.21.(本小题满分12分)已知椭圆C1:x24+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=2OA,求直线AB的方程.解(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2+x24=1(a2),其离心率为32,故a2-4a=32,解得a=4.故椭圆C2的方程为y216+x24=1.(2)设A,B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,
17、B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以xA2=41+4k2.将y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,所以xB2=164+k2.又由OB=2OA,得xB2=4xA2,即164+k2=161+4k2,解得k=1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.22.导学号01844029(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,离心率为22,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线通过点0,-12.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求A
18、OB(O为坐标原点)面积的最大值.解(1)由已知可得e=ca=22,2b=2,a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1,故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程y=kx+m,x22+y2=1,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.当=8(2k2-m2+1)0,即2k2m2-1时,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,所以x1+x22=-2km1+2k2,y1+y22=m1+2k2.当k=0时,线段AB的垂直平分线显然过点0,-12,SAOB=12|AB|m|=12|m|221-m2=2(1-m2)m2.
19、因为m(-1,0)(0,1),所以m2(0,1).SAOB21-1212=22,当m2=12时,取到等号.当k0时,因为线段AB的垂直平分线过点0,-12,所以y1+y22-12x1+x22-0=-1k,化简整理得2k2+1=2m.由2k2+1=2m,2k2+1m2,得0m2.又原点O到直线AB的距离d=|m|1+k2,|AB|=1+k2|x1-x2|=21+k24k2-2m2+21+2k2,所以SAOB=12|AB|d=|m|4k2-2m2+21+2k2,而2k2+1=2m且0m2,则SAOB=124m-2m2,0m2.所以当m=1,即k2=12时,SAOB取得最大值22.综上,SAOB最大值为22.
