1、第六节对数与对数函数命题分析预测学科核心素养本节是高考的一个热点，主要考查对数式的大小比较、对数函数的图像和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中等.本节通过对数运算、对数函数的图像及性质考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的运用以及考生的数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第29页知识点一对数与对数运算1.对数的概念如果axN（a0，且a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作xloga N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质N；logaaNN（a0，且a1）；零和负数没有对数.（
2、2）对数的运算法则（a0，且a1，M0，N0）loga（MN）logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM（nR）.（3）对数的重要公式换底公式：logbN（a，b均大于零且不等于1）；logab. 温馨提醒 对数运算的一些结论（1）logambnlogab.（2）logablogba1.（3）logablogbclogcdlogad.1.log2（）A.2B.22log23C.2 D.2log232解析：2log23，又log2log23，两者相加即为B.答案：B2.（log29）（log34）_.解析：（log29）（log34）4.答案：43.已知2x3，
3、log4y，则x2y的值为_.解析：由2x3，log4y，得xlog23，ylog4log2，所以x2ylog23log2log283.答案：3知识点二对数函数及其性质（1）概念：函数ylogax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，）.（2）对数函数的图像与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在（0，）上是增函数在（0，）上是减函数 温馨提醒 二级结论对数函数的图像与底数大小的比较如图所示，作直线y1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数.故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.必明易错对数不等式问
4、题，一般是先确保对数中真数大于0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分a1和0a0，且a1）的图像可能是（）解析：对于函数yloga，当y0时，有x1，得x，即yloga的图像恒过定点，排除选项A、C；函数y与yloga在各自定义域上单调性相反，排除选项B.答案：D2.当0x时，4xlogax（a0且a1），则a的取值范围是（）A.B.C.（1，）D.（，2）解析：易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图像如图所示，则由题意可知只需满足loga4，解得a，a1.答案：B3.已知函数f（x）4loga（x1）的图像恒过定点
5、P，则点P的坐标是_.解析：由ylogax图像经过点（1，0），故f（x）4loga（x1）的图像恒过点P（2，4）.答案：（2，4）4.设平行于y轴的直线分别与函数y1log2x及函数y2log2x2的图像交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2log2x2的图像上，如图，若ABC为正三角形，则m2n_.解析：由题意知，nlog2m2，所以m2n2.又BCy2y12，且ABC为正三角形，所以可知B（m，n1）在y1log2x的图像上，所以n1log2（m），即m2n1，所以2n4，所以m，所以m2n412.答案：121.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点（与坐标
6、轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合进行求解.题型二对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.常见的命题角度有：（1）比较大小；（2）与对数函数的单调性有关问题；（3）与对数函数有关的不等式问题.考法（一）比较大小例1（1）（2019高考全国卷）已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）A.abcB.acbC.cab D.bca（2）（2019高考天津卷）已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c
7、的大小关系为（）A.acb B.abcC.bca D.cab解析（1）由对数函数的单调性可得alog20.2201，0c0.20.30.201，所以ac0）的单调性在a1时相同，在0a1时相反.（2）研究yf（logax）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令tlogax，则只需研究tlogax及yf（t）的单调性即可.考法（三）解简单的对数不等式例3已知不等式logx（2x21）logx（3x）0成立，则实数x的取值范围是_.解析原不等式或，解不等式组得x，不等式组无解，所以实数x的取值范围是.答案对数不等式（组）的求解常利用对数函数的单调性，在对数的底数不确定的情况下，要注意分类讨论.题
8、组突破1.已知实数a2ln 2，b22ln 2，c（ln 2）2，则a，b，c的大小关系是（）A.cbaB.cabC.bac D.acb解析：因为0ln 21，所以a2ln 2（1，2），c（ln 2）2（0，1）.又b22ln 22ln 4（3，4），故cab.答案：B2.若函数f（x）log2（x2ax3a）在区间（，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.（，4）B.（4，4C.（，4）2，）D.4，4）解析：由题意得x2ax3a0在区间（，2上恒成立且函数yx2ax3a在（，2上单调递减，则2且（2）2（2）a3a0，解得实数a的取值范围是4，4）.答案：D对数函数中的核心素养（一）
9、逻辑推理比较对数值问题比较对数值的大小主要依据对数函数的性质，但是待比较的值不能直接利用对数性质时，需要利用逻辑推理的方法比较大小.例1（2021安庆模拟）已知正数x，y，z满足log2xlog3ylog5z0，则下列结论不可能成立的是（）A.B.C. D.解析设log2xlog3ylog5zk0，可得x2k1，y3k1，z5k1.所以2k1，3k1，5k1.若0k1，则函数f（x）xk1单调递减，所以；若k1，则函数f（x）xk11，所以；若k1，则函数f（x）xk1单调递增，所以.所以，的大小关系不可能是B.答案B涉及对数值比较大小或范围确定问题，要根据待比较的式子或范围，通过构造函数，利
10、用函数性质比较大小，若不能构造函数，则需要利用作差（或作商）比较大小.（二）创新应用实际问题中对数的化简与求值例2（2019高考北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k1，2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1010.1B.10.1C.lg 10.1 D.1010.1解析设太阳的星等是m126.7，天狼星的星等是m21.45，由题意可得1.45（26.7）lg，lg10.1，则1010.1.答案A在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义
11、、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力.题组突破1.（2020高考全国卷）若2alog2a4b2log4b，则（）A.a2b B.a2bC.ab2 D.ab2解析：由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f（x）2xlog2x，则f（x）在（0，）上单调递增.又22blog2b22blog2b122blog22b，2alog2a22blog22b，即f（a）f（2b），a2b.答案：B2.里氏震级M的计算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.解析：根据题意，由lg 1 000lg 0.0016得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震的最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.答案：610 000
