1、第3课时正弦定理习题课学 习 目 标核 心 素 养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点)2能根据条件，判断三角形解的个数3能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)1.通过对三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养2借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.天塔是天津广播电视塔的简称，耸立于碧波与云霄之间，是世界上唯一一座“水中之塔”，其势如剑倚天，享有“天塔旋云”之美称问题：走在天塔附近，你能估计出天塔的大致高度吗？1正弦定理及其变形(1)定理内容：2R(R为外接圆半径)(2)正弦定理的常见变形：s
2、in Asin Bsin Cabc；2R；a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C.思考：在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.2三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)SABCbcsin Aacsin Babsin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)SABCah，其中a为ABC的一边长，而h为该
3、边上的高的长(3)SABCr(abc)rl，其中r，l分别为ABC的内切圆半径及ABC的周长1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在ABC中，A30，a2，b2，则B60.()(2)在ABC中，但无法确定具体值()(3)由两边和一角就可求三角形的面积()答案(1)(2)(3)2在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形B由正弦定理可得sin Asin C，即ac，所以ABC为等腰三角形3在ABC中，A30，a3，b2，则这个三角形有()A一解B两解C无解D无法确定A由ba和大边对大角可知三角形的解的个数为一解4在ABC中，A，B，C
4、所对的边分别为a，b，c，其中a4，b3，C60，则ABC的面积为_3由Sabsin C43得S3.三角形解的个数的判断【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2，b6，A30. 解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，absin A，本题无解(2)a2，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，三角形有两解由正弦定理得sin B，又B(0，180)，B160，B2120.当B160时，C190，c14；当B2120时，C230，c22.B160时，C190，c14；B2120时，C230
5、，c22.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. 1在ABC中，ax，b2，B45.若该三角形有两解，则x的取值范围是_(2,2)由asin Bba，得x2x，2x，AC，BC；ABABsin Acos B，cos Asin B【例3】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C(1)求C的大小；(2)
6、若c2，A，求ABC的面积. 思路探究(1)由mnsin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小，再利用三角形的面积公式求解解(1)由题意，mnsin Acos Bsin Bcos Asin 2C，即sin(AB)sin 2C，sin C2sin Ccos C由0C0.所以cos C，C.(2)由C，A，得BAC.由正弦定理，即，解得b2.所以ABC的面积Sbcsin A22sin .(变条件，结论)将例题中的条件“m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C”换为“若ac2b，2cos 2B8cos B50”求角B的大小并判断ABC的
7、形状解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去)0B，B.ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin，sin Asin cos Acos sin A.化简得sin Acos A，sin1.0A，AAB，所以AC，则0C，故C.3在ABC中，A，ac，则_.1由得sin C，又0C，所以C，B(AC).所以1.4(一题两空)在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_，a_. 2由tan A2，得sin A2cos A，由sin2Acos2A1，得sin A，b5，B，由正弦定理，得a2.5在ABC中，若abc135，则_.由条件得，sin Asin C同理可得sin Bsin C.
