1、第2课时夹角问题素养目标定方向 课程标准学法解读1会用向量法求线线、线面、面面夹角2能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系1理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角(空间想象，数学运算)2理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角(空间想象，数学计算)3理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小(空间想象，数学计算)必备知识探新知 知识点1 两个平面的夹角平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中_不大于90_的二面角称为平面与平面的夹角
2、知识点2 空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别为u，v，则cos |cosu，v|_直线与平面所成的角设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin _|cosu，n|_两个平面的夹角设平面与平面的夹角为，平面，的法向量分别为n1，n2，则cos |cosn1，n2|_关键能力攻重难 题型探究题型一利用向量方法求两异面直线所成角典例1如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角分析建立空间
3、直角坐标系，求出直线EF和BC1的方向向量的坐标，求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角解析分别以直线BC，BA，B1B为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)设AB1，则B(0,0,0)，E，F，C1(1,0,1)，所以，(1,0,1)于是cos，所以直线EF和BC1所成角的大小为60规律方法1利用空间向量求两异面直线所成角的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角2求两条异面直线所成的角的两个关注点(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而
4、对应的方向向量的夹角可能为钝角(2)范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值【对点训练】直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)ABCD解析如图，分别以C1B1、C1A1、C1C为x、y、z轴，建立空间直角坐标系令ACBCC1C2，则A(0,2,2)、B(2,0,2)、M(1,1,0)、N(0,1,0)令为AN，BM所在直线成的角，(1,1，2)，(0，1，2)cos 故选C题型二利用向量方法求直线与平面所成角典例2如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，A
5、DBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值分析(1)线面平行的判定定理MN平面PAB(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角直线AN与平面PMN所成角的正弦值解析(1)证明：由已知得AMAD2如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)解：如图，取BC的中点E，连接AE由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE以A为
6、坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)，于是|cosn，|所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为规律方法若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：【对点训练】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值解析(1)取AB中点O，连接CO、A1B、A1O，ABAA1，BAA160
7、，BAA1是正三角形，A1OAB，CACB，COAB，COA1OO，AB平面COA1，ABA1C(2)由(1)知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面ABB1A1，平面ABC平面ABB1A1AB，OC平面ABB1A1，OCOA1，OA、OC、OA1两两相互垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1，0,0)，则(1,0，)、(1，0)、(0，)，设n(x，y，z)是平面CBB1C1的法向量，则即可取n(，1，1)，|cosn，|，直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为题型三利
8、用向量方法求两个平面的夹角典例3如图，在正方体ABEFDCEF中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值分析有两种思路，一是先根据二面角平面角及两个平面夹角的定义，在图形中作出二面角的平面角，然后利用向量方法求出向量夹角从而得到两平面夹角的大小；另一种是直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得两平面夹角的大小解析设正方体棱长为1以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则M，N，A(1,0,0)，B(0,0,0)方法1：取MN的中点G，连接BG，AG，则G因为AMN，BMN为等腰三角形，所以AGMN，BGMN，故
9、AGB为两平面夹角或其补角又因为，所以cos，故所求两平面夹角的余弦值为方法2：设平面AMN的法向量n1(x，y，z)由于，则即令x1，解得y1，z1，于是n1(1,1,1)同理可求得平面BMN的一个法向量n2(1，1，1)，所以cosn1，n2，设平面MNA与平面MNB的夹角为，则cos |cosn1，n2|故所求两平面夹角的余弦值为规律方法利用平面的法向量求两个平面的夹角利用向量方法求两平面夹角大小时，多采用法向量法即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到两平面夹角需注意法向量夹角范围是0，而两平面夹角范围是【对点训练】(2020合肥市高三教学质量检测)在四棱锥PABCD中，BCB
10、DDC2，ADABPDPB2(1)若点E为PC的中点，求证：BE平面PAD；(2)当平面PBD平面ABCD时，求二面角CPDB的余弦值解析(1)取CD的中点为M，连接EM，BM由已知得，BCD为等边三角形，BMCDADAB2，BD2，ADBABD30，ADC90，BMAD又BM平面PAD，AD平面PAD，BM平面PADE为PC的中点，M为CD的中点，EMPD又EM平面PAD，PD平面PAD，EM平面PADEMBMM，EM，BM平面BEM平面BEM平面PADBE平面BEM，BE平面PAD(2)连接AC，交BD于点O，连接PO，由对称性知，O为BD的中点，且ACBD平面PBD平面ABCD，POBD
11、，PO平面ABCD，POAO1，CO3以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz则D(0，0)，C(3,0,0)，P(0,0,1)易知平面PBD的一个法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量为n2(x，y，z)，则n2，n2，(3，0)，(0，1)，令y，得x1，z3，n2(1，3)，cosn1，n2设二面角CPDB的大小为，易知为锐角，则cos 易错警示典例4正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图)在图中求平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值错解CDAD，CDBD，ADBD，取D
12、为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0，2，0)、E(0，1)、F(1，0)平面ABD的法向量m(0,1,0)，设平面EFD的法向量为n(a，b，c)，(0，1)，(1，0)，由n0，n0得n(，1，)，cosm，n，平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值为辨析错解错因一是不注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负，二是计算粗心正解解法一：由已知CDAD，CDBD，ADB就是直二面角ACDB的平面角，ADBD以D为原点建立空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,2，0
13、)，E、F分别是AC、BC的中点，E(0，1)、F(1，0)设m(x，y，z)是平面DEF的一个法向量则令y1得m(，1，)同理可求得平面ABD的一个法向量n(0,1,0)，|cosm，n|由图可知，平面ABD与平面EFD所成的二面角为锐二面角，平面ABD与平面EFD所成的二面角的余弦值为解法二：同方法一建立空间直角坐标系，则可得：(2,0，2)，(1,0，1)，2，ABEFAB平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD，EF必平行于平面ABD与平面EDF的交线l(即二面角的棱l)，ABl，分别取AB、EF的中点M、N则M(1,0,1)，N由(1,0,1)(2,0，2)0(1,0，1)0得，DMl，DNlMDN就是所求二面角的平面角cos，平面ABD与平面EFD所成的二面角的余弦值为
