1、本章总结提升第六章内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升网络构建归纳整合专题突破素养提升专题一分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用1.利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行计数时,常因分类不明导致增(漏)解,因此在解题中既要保证类与类的互斥性,又要关注总数的完备性.2.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其区别和联系,有助于提升逻辑推理和数学运算能力.【例1】从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中,若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有个.(用数字作答)答案 60 解析
2、 1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类.规律方法应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.变式训练1(1)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且绿色卡片至多1张,则不同的取法种数为()A.484B.472C.252D.232(2)车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派
3、方法?(1)答案 B 专题二排列与组合的综合应用1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用,解决排列与组合的综合问题要树立先选后排,特殊元素(特殊位置)优先的原则.2.对于排列和组合的运算,有助于提升数学建模及数学运算能力.【例2】在高三(1)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有=5 040(种)方法;第二步再松绑,给4个舞蹈节目排序,
4、有=24(种)方法.根据分步乘法计数原理,一共有5 04024=120 960(种)安排顺序.(2)第一步,将6个演唱节目排成一列(如图中的“”),一共有=720(种)方法.第二步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间,即图中“”的位置,这样相当于7个“”选4个来排,一共有=840(种)方法.根据分步乘法计数原理,一共有720840=604 800(种)安排顺序.规律方法解决排列、组合综合问题要注意以下几点(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题.(2)对于含有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步,分类时要不重不漏,分步时要步步相接.(3)对于含有“至
5、多”“至少”的问题,常采用间接法,此时要考虑全面,排除干净.变式训练26个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演.(1)若每排4人,共有多少种不同的排法?(2)领唱站在前排,男生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法?专题三二项式定理及其应用1.二项式定理有比较广泛的应用,可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等,其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解.2.二项式定理有助于提升数学运算和数学架构能力.角度1二项展开式的“赋值问题”【例3】(1)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,若a1+a2+a3+an=31,则自然数n=()A.6B.5C.4D.3
6、(2)若(3x2-2x+1)5=a10 x10+a9x9+a8x8+a1x+a0,求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.(1)答案 B解析 令x=0,则a0=1n=1,令x=1,则a0+a1+a2+an=(1+1)n=2n,所以a1+a2+an=2n-1=31,解得n=5,故选B.(2)解令x=1,得a0+a1+a10=25,令x=-1,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65.式相乘,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=2565=125=248832.规律方法“
7、赋值法”在二项展开式中的应用(1)观察:先观察二项展开式左右两边式子的结构特征.(2)赋值:结合待求和上述特征,对变量x赋值,常见的赋值有x=-1,x=0,x=1等等,具体视情况而定.(3)解方程:赋值后结合待求建立方程(组),求解便可.变式训练3若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为()A.-1B.0C.1D.2答案 C 角度2二项展开式的特定项问题【例4】(2022山东淄博模拟)若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,则a6=()A.-448B.-112C.112D.448答案 C 解析
8、 由已知可得a6为(1+x)6的系数,又二项式(1-x)8可以化为2-(1+x)8,则此二项式的展开式的含(1+x)6的项为22-(1+x)6=112(1+x)6,则a6=112,故选C.【例5】已知在()n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是563.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求展开式中系数的绝对值最大的项;规律方法二项式特定项的求解策略(1)确定二项式中的有关元素:一般是根据已知条件,列出等式,从而可解得所要求的二项式中的有关元素.(2)确定二项展开式中的常数项:先写出其通项公式,令未知数的指数为零,从而确定项数,然后代入通项公式,即可确定常数项.(3)求二项展开式中条件项的系数:先写出其通项公式,再由条件确定项数,然后代入通项公式求出此项的系数.变式训练4若(x+)n的展开式中存在常数项,则n可能是()A.7B.8C.9D.10答案 D 结合选项,只有D项答案满足要求.故选D.变式训练5已知()n的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024.(1)求展开式的所有有理项(指数为整数的项);(2)求(1-x)3+(1-x)4+(1-x)n的展开式中x2项的系数.
