1、2015-2016学年四川省广元市旺苍中学高二(上)12月月考数学试卷一、选择题(每题5分,共60分,每题只有一个正确选项)1设P=x|x4,Q=x|x24,则()APQBQPCPCRQDQCRP2不等式x2y+60表示的区域在直线x2y+6=0的()A右上方B右下方C左上方D左下方3在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,2)到xOy平面的距离是()A1B2C3D4下列四个命题中错误的是()A若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面B若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D两条异面直线不可能垂直于同一个平面5若点P(3,1)是圆(x2)
2、2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()Ax+y2=0B2xy7=0Cxy4=0D2x+y5=06某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ABCD7已知倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直,则cos(2)的值为()ABC2D8按照程序框图(如图)执行,第4个输出的数是()A5B6C7D89直线x+(a2+1)y+1=0(aR)的倾斜角的取值范围是()A0,B,)C0,(,)D,),)10如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是()A1,B,C,D,
3、11设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y2=0与圆(x1)2+(y1)2=1相切,则m+n的取值范围是()A1,1+B(,11+,+)C22,2+2D(,222+2,+)12已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为()ABCD二、填空题(每题4分,共16分)13已知圆心为C(3,4),半径为的圆的标准方程是14点A(1,2)关于直线x+y3=0的对称点B的坐标是15点(0,0)在直线l上的射影为(2,3),则直线l的方程为16若直线l:2xy1=0与圆锥曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,若|AB|=,则|x1x2|=三、解答题(本
4、大题共计74分,解答时请写出必要的文字说明)17已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my1=0试确定m,n的值,使(1)l1l2;(2)l1l2,且l1在y轴上的截距为118如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点(1)求证:A1B1平面ABE;(2)求证:B1D1AE19已知圆心为C的圆经过点A(1,0)和B(1,2),且圆心C在直线l:xy+1=0上,(1)求圆心为C的圆的标准方程;(2)若线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C上运动,求AB的中点M的轨迹方程20如图,四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,
5、且平面PDC底面ABCD,E为PC的中点(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值;(2)求点D到面PAB的距离21已知圆C:(xa)2+(y2)2=4(a0)及直线l:xy+3=0当直线l被圆C截得的弦长为时,求()a的值;()求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程22如图,圆C:x2(1+a)x+y2ay+a=0(1)若圆C的半径为,求圆C的方程;(2)已知a1,圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于两点A,B问:是否存在实数a,使得ANM=BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由2015-2016学年四川省广元市旺苍中学高
6、二(上)12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题5分,共60分,每题只有一个正确选项)1设P=x|x4,Q=x|x24,则()APQBQPCPCRQDQCRP【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】集合【分析】此题只要求出x24的解集x|2x2,画数轴即可求出【解答】解:P=x|x4,Q=x|x24=x|2x2,如图所示,可知QP,故B正确【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念,主要考查了集合的基本运算,属容易题2不等式x2y+60表示的区域在直线x2y+6=0的()A右上方B右下方C左上方D左下方【考点】二元一次不等式(组)与平面区域【专题】计算题;作图题;不等式的
7、解法及应用【分析】由题意作直线x2y+6=0,可知(0,0)满足不等式x2y+60,从而在右下方【解答】解:如下图:作直线x2y+6=0,可知(0,0)满足不等式x2y+60,故选B【点评】本题考查了平面区域的确定,利用特值法,属于基础题3在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,2)到xOy平面的距离是()A1B2C3D【考点】空间两点间的距离公式【专题】数形结合;转化法;空间位置关系与距离【分析】根据空间直角坐标系Oxyz中,点P(x,y,z)到xOy平面的距离是d=|z|,求出即可【解答】解:空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,2)到xOy平面的距离是d=|z|=2故选:B【点评】本
8、题考查了空间直角坐标系Oxyz中点到坐标平面的距离问题,是基础题目4下列四个命题中错误的是()A若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面B若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D两条异面直线不可能垂直于同一个平面【考点】平面的基本性质及推论;异面直线的判定【专题】证明题【分析】根据公理2以及推论判断A和B,由线线位置关系的定义判断C,利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D【解答】解:A、由两条直线平行确定一个平面判断正确,故A不对;B、根据三棱锥的四个顶点知,任意三点都不共线,故B不对;C、若两条直线没有公共点,则这两条直线异面或平行
9、,故C对;D、根据线面垂直的性质定理知,这两条直线平行,即不可能,故D不对故选C【点评】本题考查了的内容多,涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义,难度不大,需要掌握好基本知识5若点P(3,1)是圆(x2)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()Ax+y2=0B2xy7=0Cxy4=0D2x+y5=0【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题;直线与圆【分析】由垂径定理可知,圆心C与点P的连线与AB垂直可求直线AB的斜率,从而由点斜式方程得到直线AB的方程【解答】解:由(x2)2+y2=25,可得,圆心C(2,0)kPC=1PCAB,kAB=1
10、直线AB的方程为y+1=x3,即xy4=0故选:C【点评】本题考查垂径定理,直线的点斜式方程圆的标准方程等知识属于基础题6某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ABCD【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题;空间位置关系与距离【分析】由题意,几何体为共底面的两个圆锥,两个圆锥的底面半径为1,高为1,可得几何体的体积【解答】解:由题意,几何体为共底面的两个圆锥,两个圆锥的底面半径为1,高为1,故几何体的体积为2=,故选:D【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,圆锥的体积计算公式,空间想象能力,比较基础7已知倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直,则
11、cos(2)的值为()ABC2D【考点】三角函数的化简求值;直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题;转化思想;数学模型法;三角函数的求值;直线与圆【分析】由直线的垂直与斜率间的关系求得tan=2然后利用诱导公式及万能公式把cos(2)转化为含tan的代数式得答案【解答】解:直线x+2y3=0的斜率为,倾斜角为的直线l与直线x+2y3=0垂直,tan=2则cos(2)=cos(1007+)=cos()=sin2=故选:B【点评】本题考查三角函数的化简与求值,考查了直线的垂直与斜率间的关系,是基础的计算题8按照程序框图(如图)执行,第4个输出的数是()A5B6C7D8【考点】循环结构【专题
12、】阅读型【分析】根据流程图可知第一次输出的A=1,则S=1+1=2,满足条件S5,然后A=1+2=3,依此类推,当不满足条件S5,然后退出循环,求出所求即可【解答】解:第一次输出的A=1,则S=1+1=2,满足条件S5,然后A=1+2=3第二次输出的A=3,则S=2+1=3,满足条件S5,然后A=3+2=5第三次输出的A=5,则S=3+1=4,满足条件S5,然后A=5+2=7第四次输出的A=7,则S=4+1=5,满足条件S5,然后A=7+2=9第五次输出的A=9,则S=5+1=6,不满足条件S5,然后退出循环故第4个输出的数是7故选:C【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:
13、当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断属于基础题9直线x+(a2+1)y+1=0(aR)的倾斜角的取值范围是()A0,B,)C0,(,)D,),)【考点】直线的倾斜角【专题】计算题【分析】由直线的方程得 斜率等于,由于 01,设倾斜角为 ,则 0,1tan0,求得倾斜角 的取值范围【解答】解:直线x+(a2+1)y+1=0(aR)的 斜率等于,由于 01,设倾斜角为 ,则 0,1tan0,故选 B【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值的范围求角的范围,得到0,1tan0,是解题的关键10如图,在棱长为1的正方体AB
14、CDA1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是()A1,B,C,D,【考点】点、线、面间的距离计算【专题】空间位置关系与距离【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N,连接MN,易证平面A1MN平面AEF,由题意知点P必在线段MN上,由此可判断P在M或N处时A1P最长,位于线段MN中点处时最短,通过解直角三角形即可求得【解答】解:如下图所示:分别取棱BB1、B1C1的中点M、N,连接MN,连接BC1,M、N、E、F为所在棱的中点,MNBC1,EFBC1,MNEF,又MN平面AEF,EF平面AEF,MN平
15、面AEF;AA1NE,AA1=NE,四边形AENA1为平行四边形,A1NAE,又A1N平面AEF,AE平面AEF,A1N平面AEF,又A1NMN=N,平面A1MN平面AEF,P是侧面BCC1B1内一点,且A1P平面AEF,则P必在线段MN上,在RtA1B1M中, =,同理,在RtA1B1N中,求得A1N=,A1MN为等腰三角形,当P在MN中点O时A1PMN,此时A1P最短,P位于M、N处时A1P最长,=,A1M=A1N=,所以线段A1P长度的取值范围是,故选B【点评】本题考查点、线、面间的距离问题,考查学生的运算能力及推理转化能力,属中档题,解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置11设m
16、,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y2=0与圆(x1)2+(y1)2=1相切,则m+n的取值范围是()A1,1+B(,11+,+)C22,2+2D(,222+2,+)【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关系式,整理后利用基本不等式变形,设m+n=x,得到关于x的不等式,求出不等式的解集得到x的范围,即为m+n的范围【解答】解:由圆的方程(x1)2+(y1)2=1,得到圆心坐标为(1,1),半径r=1,直线(m+1)x+(n+1)y2=0与圆相切,圆心到直线的距离d=1
17、,整理得:m+n+1=mn,设m+n=x,则有x+1,即x24x40,x24x4=0的解为:x1=2+2,x2=22,不等式变形得:(x22)(x2+2)0,解得:x2+2或x22,则m+n的取值范围为(,222+2,+)故选D【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,基本不等式,以及一元二次不等式的解法,利用了转化及换元的思想,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键12已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为()ABCD【考点】圆方程的综合应用;平面向量数量积的运算【专题】向量与圆锥曲线
18、【分析】要求的最小值,我们可以根据已知中,圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,结合切线长定理,设出PA,PB的长度和夹角,并将表示成一个关于x的函数,然后根据求函数最值的办法,进行解答【解答】解:如图所示:设OP=x(x0),则PA=PB=,APO=,则APB=2,sin=,=(12sin2)=(x21)(1)=x2+323,当且仅当x2=时取“=”,故的最小值为23故选D【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力二、填空题(每题4分,共16分)13已知圆心为C(3,4),半径
19、为的圆的标准方程是(x+3)2+(y4)2=5【考点】圆的标准方程【专题】直线与圆【分析】利用圆的标准方程的概念求解【解答】解:圆心为C(3,4),半径为的圆的标准方程是:(x+3)2+(y4)2=5故答案为:(x+3)2+(y4)2=5【点评】本题考查圆的标准方程的求法,解题时要认真审题,是基础题14点A(1,2)关于直线x+y3=0的对称点B的坐标是(1,4)【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】转化思想;综合法;直线与圆【分析】设出对称点的坐标,利用点的对称的关系建立方程关系进行求解即可【解答】解:设对称点的坐标为(x,y),则满足,即,解得,即对称点的坐标为(1,4),故答案
20、为:(1,4)【点评】本题主要考查点的对称的应用,根据对称关系建立方程是解决本题的关键15点(0,0)在直线l上的射影为(2,3),则直线l的方程为2x+3y13=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】数形结合;转化思想;综合法;直线与圆【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解:O(0,0),P(2,3),kOP=,与OP垂直的直线l的斜率k=直线l的方程为:y3=(x2),化为:2x+3y13=0故答案为:2x+3y13=0【点评】本题考查了两条直线相互垂直的直线的斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题16若直线l:2xy1=0与圆锥曲线C交于A(
21、x1,y1),B(x2,y2) 两点,若|AB|=,则|x1x2|=【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直接利用弦长公式求解即可【解答】解:直线l:2xy1=0与圆锥曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,若|AB|=,直线的斜率为:2由弦长公式可得:|AB|=,|x1x2|,|x1x2|=故答案为:【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,写出公式的求法,基本知识的考查三、解答题(本大题共计74分,解答时请写出必要的文字说明)17已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my1=0试确定m,n的值,使(1)l1l2;(2)l1l2,且l1在
22、y轴上的截距为1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】(1)当m=0时,显然l1与l2不平行 当m0时,由=求得m,n的值(2)当且仅当m2+8m=0,即m=0时,l1l2 再由=1,求得n的值【解答】解:(1)当m=0时,显然l1与l2不平行 当m0时,由=得 mm82=0,得m=4,8(1)nm0,得n2,故当m=4,n2时,或m=4,n2时,l1l2(2)当且仅当m2+8m=0,即m=0时,l1l2 又=1,n=8即m=0,n=8时,l1l2,且l1在y轴上的截距为1【点评】本题考查两直线平行的条件,两直线垂直的条件,等价转化是
23、解题的关键18如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点(1)求证:A1B1平面ABE;(2)求证:B1D1AE【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离【分析】(1)直接利用直线与平面平行的判定定理证明即可(2)连接A1C1,AC证明B1D1平面AA1C1C,即可证明结论【解答】证明:(1)A1B1AB,AC平面ABE,A1B1平面ABEA1B1平面ABE(6分)(2)连接A1C1,ACAA1平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,则AA1B1D1,又B1D1A1C1,且AA1A1C1=A1,则B1D1平面AA1C1C,而AE
24、平面AA1C1C,则B1D1AE(12分)【点评】本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的性质定理的应用,考查逻辑推理能力19已知圆心为C的圆经过点A(1,0)和B(1,2),且圆心C在直线l:xy+1=0上,(1)求圆心为C的圆的标准方程;(2)若线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C上运动,求AB的中点M的轨迹方程【考点】轨迹方程【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】(1)设出圆心的坐标,利用半径相等求得t,进而利用两点的距离公式求得半径,则圆的方程可得(2)线段CD中点M(x,y),C(x1,y1),由题意知x1=2x4,y1=2y3,由点A在圆
25、(x+1)2+y2=4上运动,能求出点M的轨迹方程【解答】解:(1)设圆心的坐标为(t,t+1),则有(t1)2+(t+1)2=(t+1)2+(t+3)2,整理求得t=1,故圆心为(1,0),r2=(t1)2+(t+1)2=4,则圆的方程为(x+1)2+y2=4(2)设线段CD中点M(x,y),C(x1,y1),由题意知:x1=2x4,y1=2y3,点C在圆(x+1)2+y2=4上运动,(2x4+1)2+(2y3)2=4,M的轨迹方程为(x1.5)2+(y1.5)2=1【点评】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法,考查代入法的运用,确定坐标之间的关系是关键20如图,四棱锥PABCD中,底面四边形
26、ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC底面ABCD,E为PC的中点(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值;(2)求点D到面PAB的距离【考点】点、线、面间的距离计算;异面直线及其所成的角【专题】计算题;对应思想;数形结合法;空间位置关系与距离;空间角【分析】(1)连结AC,BD交于点O,连结EO由四边形ABCD为正方形,且AO=CO,PE=EC,可得PAEO,从而得到DEO为异面直线PA与DE所成的角,然后通过求解直角三角形求解;(2)取DC的中点M,AB的中点N,连PM、MN、PN,由线面平行的判断得到DC面PAB,可得D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离,
27、过M作MHPN于H,由线面垂直的性质可得PMDC,进一步得到PM面ABCD,即PMAB,然后推得MH面PAB,则MH就是点D到面PAB的距离,然后求解直角三角形得答案【解答】解(1)连结AC,BD交于点O,连结EO四边形ABCD为正方形,AO=CO,又PE=EC,PAEO,DEO为异面直线PA与DE所成的角,面PCD面ABCD,ADCD,AD面PCD,ADPD在RtPAD中,PD=AD=a,则PA=,又DE=,;(2)取DC的中点M,AB的中点N,连PM、MN、PNDCAB,DC面PAB,DC面PAB,D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离过M作MHPN于H,面PDC面ABCD,PMDC,
28、PM面ABCD,PMAB,又ABMN,PMMN=M,AB面PMN面PAB面PMN,MH面PAB,则MH就是点D到面PAB的距离在RtPMN中,MN=a,PM=,【点评】本题考查空间异面直线所成角,考查了线面角,考查空间想象能力和计算能力,是中档题21已知圆C:(xa)2+(y2)2=4(a0)及直线l:xy+3=0当直线l被圆C截得的弦长为时,求()a的值;()求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】()根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,然后根据垂径定理得到弦心距,弦的一半及圆的半径成直角三角
29、形,利用勾股对了列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到满足题意a的值;()把()求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程,即可得到圆心的坐标,并判断得到已知点在圆外,分两种情况:当切线的斜率不存在时,得到x=3为圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,由(3,5)和设出的k写出切线的方程,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径即可列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程综上,得到所有满足题意的切线的方程【解答】解:()依题意可得圆心C(
30、a,2),半径r=2,则圆心到直线l:xy+3=0的距离,由勾股定理可知,代入化简得|a+1|=2,解得a=1或a=3,又a0,所以a=1;()由(1)知圆C:(x1)2+(y2)2=4,圆心坐标为(1,2),圆的半径r=2由(3,5)到圆心的距离为=r=2,得到(3,5)在圆外,当切线方程的斜率存在时,设方程为y5=k(x3)由圆心到切线的距离d=r=2,化简得:12k=5,可解得,切线方程为5x12y+45=0;当过(3,5)斜率不存在直线方程为x=3与圆相切由可知切线方程为5x12y+45=0或x=3【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值,
31、灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题22如图,圆C:x2(1+a)x+y2ay+a=0(1)若圆C的半径为,求圆C的方程;(2)已知a1,圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧)过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于两点A,B问:是否存在实数a,使得ANM=BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由【考点】圆方程的综合应用【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆【分析】(1)由r=,得=,由此求得a的值,从而求得所求圆C的方程(2)先求出所以M(1,0),N(a,0),假设存在实数a,当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x1),代入x2+y
32、2=4,利用韦达定理,根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值经过检验,当直线AB与x轴垂直时,这个a值仍然满足ANM=BNM,从而得出结论【解答】解:(1)由r=得=,所以a=1或a=0,故所求圆C的方程为x22x+y2y+1=0或x2x+y2=0;(2)令y=0,得x2(1+a)x+a=0,即(x1)(xa)=0,求得x=1,或x=a,所以M(1,0),N(a,0)假设存在实数a,当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x1),代入x2+y2=4得,(1+k2)x22k2x+k24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),从而x1+x2=,x1x2=因为NA、NB的斜率之和为+=,而(x11)(x2a)+(x21)(x1a)=2x1x2(a+1)(x2+x1)+2a=,因为ANM=BNM,所以,NA、NB的斜率互为相反数, +=0,即=0,得a=4当直线AB与x轴垂直时,仍然满足ANM=BNM,即NA、NB的斜率互为相反数综上,存在a=4,使得ANM=BNM【点评】本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆的位置关系,直线的倾斜角和斜率,属于中档题