1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，得到，再利用两角和的余弦公式，即可求解，得到答案【详解】由题意，可得，故选B【点睛】本题主要考查了两三家函数的诱导公式，以及两角和的余弦公式的应用，其中解答中年熟记两角和的余弦公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2.若，则的模不可能是（ ）A. 0B. C. 2D. 3【答案】D【解析】分析】根据平
2、面向量数量积定义,计算可得模的取值范围,进而得解.【详解】设与的夹角为,由向量的数量积定义可得因为 所以对比选项可知D选项错误.故选:D【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义,属于基础题.3.设角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】角的终边经过点，得，代入展开后的式子进行求值【详解】因为角的终边经过点，所以，所以【点睛】本题考查三角函数的广义定义、两角差的余弦公式，注意两角差余弦公式展开时，中间是加号，符号不能记错4.下列命题正确的是( )A. 若与共线，与共线，则与共线B. 向量共面，即它们所在的直线共面C. 若，则存在唯一的实数使D. 零向量是模为，方
3、向任意的向量【答案】D【解析】【分析】假设为零向量，即可判断A选项；根据向量的特征，可判断B选项；根据共线向量定理，可判断C选项；根据零向量的定义，可判断D选项.【详解】A选项，若，则根据零向量方向的任意性，可的与共线，与共线；但与不一定共线，故A错；B选项，因为向量是可以自由移动量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；C选项，根据共线向量定理，若，其中，则存在唯一的实数使；故C错；D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为，方向任意的向量；即D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查向量相关命题的判定，熟记向量的概念，向量的特征，以及共线向量定理即可，属于基础题型.5.已知是的边上
4、的中点，若向量，则向量等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，解出向量【详解】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有故选【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知向量,若,则( )A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用的坐标运算列方程求出，再将变形，用表示出来，代入的值即可.【详解】由，得，整理得，所以，故选：A.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.7.已知集合，若，则实数的值可以是(
5、)A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】即，则,故选D.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.8.已知向量满足,则与的夹角( )A. 150B. 120C. 60D. 30【答案】B【解析】【分析】将两边平方求解即可.【详解】由
6、有.解得.因为,故120.故选：B【点睛】本题主要考查了向量模长的运算方法, 需要平方后利用向量数量积的公式求解,属于基础题型.9.已知，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，考点：平方关系、倍角关系10.已知函数在处取得最大值，则函数（ ）A. 偶函数且它的图象关于点对称B. 偶函数且它的图象关于点对称C. 奇函数且它的图象关于点对称D. 奇函数且它的图象关于点对称【答案】B【解析】由题意得周期为,对称轴为,对称中心为;则周期为,对称轴为,对称中心为,因此为一条对称轴,即为偶函数; 其一个对称中心为选B.点睛：三角函数对称性与函数对称性有机的结合是本题最大亮点，考
7、生必须明确：相似知识点是命题的切入点，也就是易考点11.在中，已知，的外接圆半径为1，则（ ）A. B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求出边a，和sinB，进而求的角C，再根据三角形面积公式求解【详解】已知 A=，得sinA= ， b=1，R=1，根据正弦定理，得 ，sinB= , ，易知B为锐角，B= ,C= 根据三角形的面积公式，SABC=.故选C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角形中边角关系，以及三角形面积公式的应用，属于基础题12.若函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数为定义在
8、上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案.【详解】根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,如图:当时,即,由,得或解得:.当时,即由,得或解得 综上所述:的取值范围是 .故选:B.【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】由分母不为0及正切函数的定义可得【详解】由已知,得,即,则,.故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域，考查三角函数的定义掌握
9、三角函数定义是解题基础14.已知、分别是的三个内角、所对的边，若，则_【答案】【解析】【分析】因为，由正弦定理得，化成整式，由两角和的正弦公式，得，得角【详解】因为，由正弦定理得，即，得，所以角【点睛】解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边角关系，如内角和为180度等15.已知中，为中点，当取最小值时，面积为_【答案】【解析】设， , 时，取最小值, ,16.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是_【答案】(8,9【解析】【分析】令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个值有2个值与之对
10、应，由数形结合可得的取值范围.【详解】令，则，函数，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个值有2个值与之对应，如图所示，由于当时，此时对应值只有一个，不满足条件，故的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数
11、性质三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，且，求角的值.【答案】【解析】【分析】根据以及两角差的余弦公式计算出，再根据角的范围可求得结果.【详解】由，可知.又，.，故.【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角差的余弦公式，属于基础题.18.已知向量，(1) 若，求；(2) 求的最大值【答案】(1) ；（2）【解析】【分析】（1）两向量垂直，坐标关系满足，由已知可得关于的等式，解该式子即得；（2）根据定义求的模，得，整理后再由的取值范围可得最大值【详解】（1），整理得，又，.（2），故当时，取到最大值.【点睛】本题考查向量的坐标运算，两向量垂直，求两向量之和的模
12、的最大值，当计算到最大值为时，由平方和公式还可以继续化简，即，这一步容易被忽略19.在中，角，的对边分别为，已知，（1）求；（2）求的值【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】分析：（1）中，由余弦定理可得（2）由得根据正弦定理得，从而，故得【详解】（1）在中，由余弦定理得，（2）在中，由得，在中，由正弦定理得，即，又，故，【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高
13、频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，.(1)若点，求的值;(2)若，求.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）计算得到，再利用和差公式展开得到答案.（2）根据得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】(1)由三角函数定义，得，.(2)，即，.【点睛】本题考查了三角函数定义，三角恒等变换，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21.(2016贵阳第二次联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(ab，sin Asin C)，向量n(c，sin Asin B)，且mn.(1)求角B的大
14、小；(2)设BC的中点为D，且AD，求a2c的最大值及此时ABC的面积【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：由条件利用两个向量共线的性质，正弦定理，余弦定理可得的值，从而求得的值；设，则在中，可知，利用正弦定理求得的值，可得的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得的最大值及此时的面积解析：(1)因为mn，所以(ab)(sin Asin B)c(sin Asin C)0.由正弦定理，得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac.由余弦定理，得cosB.因为B(0，)，所以B.(2)设BAD，则在BAD中，由B，可知(0，)由正弦定理及AD，得2，所以BD2sin ，AB2sin()cos
15、sin .所以a2BD4sin ，cABcossin .从而a2c2cos 6sin 4sin()由(0，)，可知(，)，所以当，即时，a2c取得最大值4.此时a2，c，所以SABCacsinB.点睛：本题主要考查两个向量共线的性质，以及正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题由可得到坐标间的关系，即三角形边角的关系式，结合余弦定理求得的值；由正弦定理将边转化为三角形的内角表示，借助于三角函数单调性可求得最大值，进而求得此时的面积22.如图，要在河岸的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中，在轴上，且，道路的前一部分为曲线段，该曲线段为二次函数
16、在时的图像，最高点为，道路中间部分为直线段，且，道路的后一段是以为圆心的一段圆弧（1）求的值；（2）求的大小；（3）若要在扇形区域内建一个“矩形草坪”，在圆弧上运动，、在上，记，则当为何值时，“矩形草坪”面积最大【答案】（1）；（2）；（3）当时，矩形草坪面积最大.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，可得出实数的值；（2）在函数的解析式中令，可求出点的坐标，由此得出，可求出，计算出，由此可得出；（3）可得出，从而得出“矩形草坪”的面积关于的表达式，利用三角恒等变换思想将关于的表达式化简为，结合角的范围，可计算出的最大值以及对应的值.【详解】（1）由图可知函数的图象过点，；（2）由（1）知，当时，又在中，；（3）由（2）可知 易知矩形草坪面积最大时，Q在OD上如图：，又，矩形草坪的面积为：，又，故当 即时，有.综上所述，当时，矩形草坪面积最大【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
