1、无锡市2013届高三第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填写在答题卷对应的位置上）1.集合，若，则的值为 2.某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 3.函数的定义域为 4.经过点，且与直线垂直的直线方程是 5.某学校有两个食堂，甲，乙，丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 6.右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的 开始i1，s1i5ss3ii+1输出s结束否
2、是 （第6题图）7.若是幂函数，且满足，则 8.已知等差数列满足：，.若将，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 9.设向量，的夹角为，则实数 10.关于的不等式的解为或，则实数的取值范围为 11.以下5个命题：（1）设，是空间的三条直线，若，则；（2）设，是两条直线，是平面，若，则；（3）设是直线，是两个平面，若，则；（4）设，是两个平面，是直线，若，则；（5）设，是三个平面，若，则.其中正确命题的序号是 12. 函数为奇函数，则的减区间为 13. 已知，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 14.定义在R上的函数是增函数，且函数的图象关于成中心对称，设，满
3、足不等式，若时，则的范围是 二、解答题：（本大题共6道题，计90分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分14分）已知中，角，的对边分别为，且，.（1） 若，求；（2） 若，求的面积.16.（本题满分14分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为的正三角形，为的中点，为的中点.（1） 求证：平面；（2） 求证：平面平面.DPCBAOE （第16题图）17.（本题满分14分）已知向量（），其中为坐标原点.（1） 若，且，求；（2） 若对任意实数，都成立，求实数的取值范围.18.（本题满分16分）数列是公比大于的等比数列，.（1） 求数列的通项公式；（2） 在与之间
4、插入个数，使这个数组成公差为的等差数列.设第个等差数列的前项和是.求关于的多项式，使得对任意恒成立；（3） 对于（2）中的数列，这个数列中是否存在不同的三项，（其中正整数，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.19.（本题满分16分）为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本（元）与处理废气量（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品.（1） 当工厂日处理废气量时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天财政补贴多少元？（2） 若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40吨时，给予每顿80元补贴，废气处理量不少于40吨时，超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大？20. （本题满分16分）已知函数，（）.（1） 当时，若直线与函数的图象相切，求的值；（2） 若在上是单调减函数，求的最小值；（3） 当时，恒成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底）.
