1、压轴题冲关系列(三)(时间：45 分钟 分数：60 分)1(2015贵州七校联考)已知中心在原点 O，左焦点为 F1(1,0)的椭圆 C 的左顶点为 A，上顶点为 B，F1 到直线 AB 的距离为 77|OB|.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若椭圆 C1 方程为：x2m2y2n21(mn0)，椭圆 C2 方程为：x2m2y2n2(0，且 1)，则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 倍相似椭圆已知C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2于两点 M，N，试求弦长|MN|的取值范围解：(1)设椭圆 C1 方程为x2a2y2b21(ab0)，直线 AB 方程为
2、xayb1，F1(1,0)到直线 AB 距离为 d|bab|a2b2 77 b，化为 a2b27(a1)2，又 b2a21，解得：a2，b 3.椭圆 C1 方程为x24y231.(2)椭圆 C1 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为x212y291.若切线 m 垂直于 x 轴，则其方程为 x2，易求得|MN|2 6.若切线 m 不垂直于 x 轴，可设其方程为 ykxm.将 ykxm 代人椭圆 C1 方程，得(34k2)x28kmx4m2120，48(4k23m2)0，即 m24k23，(*)记 M，N 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)将 ykxm 代人椭圆 C2 方程，得(34k2
3、)x28kmx4m2360，x1x2 8km34k2，x1x24m23634k2，|x1x2|x1x224x1x24 312k29m234k24 634k2，|MN|1k2|x1x2|4 6 1k234k22 61134k234k23，11134k243，即 2 62 61134k24 2，综合，得弦长|MN|的取值范围为2 6，4 2 2(2015广西三市模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A，B，设 P 为椭圆上一点，
4、且满足OA OB tOP(O 为坐标原点)，当|PAPB|2 53 时，求实数 t 的取值范围解：(1)由题意知，eca 22，所以 e2c2a2a2b2a212，即 a22b2.又以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切，b2111，则 a22.故椭圆 C 的方程为x22y21.(2)由题意知直线 AB 的斜率存在设 AB 的方程为 yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由ykx2，x22y21，得(12k2)x28k2x8k220.64k44(2k21)(8k22)0，解得 k212，且 x1x2 8k212k2，x1x28k2212k2.OA OB t
5、OP，(x1x2，y1y2)t(x，y)当 t0 时，不满足|PAPB|2 53；当 t0 时，解得 xx1x2t8k2t12k2，yy1y2tkx1x24kt 4k2t12k2，点 P 在椭圆x22y21 上，8k22t212k222 4k2t212k222，化简，得 16k2t2(12k2)，|PAPB|2 53，1k2|x1x2|2 53，化简，得(1k2)(x1x2)24x1x2209，(1k2)64k412k2248k2212k2 14，即14k212，16k2t2(12k2)，t2 16k212k28812k2，2t2 63 或2 63 tb0)经过点1，32，离心率为 32.(1
6、)求椭圆 C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆过坐标原点，且线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 P0，32，求直线 l 的方程解：(1)由题意得ca 32，1a2 34b21，解得a2，b1.所以椭圆 C 的方程是x24y21.(2)解法一：设直线的方程设为 ykxt，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykxt，x24y21，消去 y，得(14k2)x28ktx4t240，则有 x1x2 8kt14k2，x1x24t2414k2，04k22t2，y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t2t14k2，y1y2(kx1t)
7、(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2k2t244k2kt2kt4k2 t24t24k24k2.因为以 AB 为直径的圆过坐标原点，所以OA OB 0 x1x2y1y20.x1x2y1y2 t2414k24t24k214k2 05t244k2，04k21t2t 32.又设 A，B 的中点为 D(m，n)，则mx1x22 4kt14k2，ny1y22t14k2.因为直线 PD 与直线 l 垂直，所以 kPD1k32nm 得t14k212，由t14k212，5t244k2，解得t11，t235，当 t35时，0 不成立当 t1 时，k12，所以直线 l 的方程为 y12x1 或 y12x1.
8、解法二：设直线的 l 斜率为 k，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 D(x0，y0)，所以 ky1y2x1x2，x0 x1x22，y0y1y22.由题意x214y211，x224y221，得 x1x2x1x24(y1 y2)(y1 y2)0 14 y1y2y1y2x1x2x1x2014ky0 x00，又因为直线 PD 与直线 l 垂直，所以y032x0 k1.由 14ky0 x00，y032x0 k1，解得y012，x02k.设直线 l 的方程设为 yy0k(xx0)，得 ykx2k212，联立ykx2k212，x24y21，消去 y，得(14k2)x24k(k21)x(4k21)240，x1x22x04k，x1x24k212414k2，y1y2k24k212414k22k2(4k21)2k212242k21224k24k2.因为以 AB 为直径的圆过坐标原点，所以OA OB 0 x1x2y1y20.x1x2y1y24k212414k242k21224k24k20.5(4k21)216(1k2)解得 k12，所以直线 l 的方程为 y12x1 或 y12x1.
