1、专题检测（三）不等式 一、选择题1.已知集合 A4，a，BxZ|x25x40，若 A(ZB)，则实数 a 的值为()A.2 B.3C.2 或 6 D.2 或 3解析：选 D 因为 BxZ|x25x40，所以ZBxZ|x25x40 xZ|1x42，3.若 A(ZB)，则 a2 或 a3，故选 D.2.(2019天津高考)设变量 x，y 满足约束条件xy20，xy20，x1，y1，则目标函数 z4xy 的最大值为()A.2 B.3C.5 D.6解析：选 C 画出可行域，如图中阴影部分所示，由 z4xy 可得 y4xz.设直线 l0 为 y4x，平移直线 l0，当直线 y4xz 过点 A 时 z 取
2、得最大值.由x1，xy20得 A(1，1)，zmax4(1)15.故选 C.3.若 xy0，mn，则下列不等式正确的是()A.xmymB.xmynC.xnymD.x xy解析：选 D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为 0 或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为 m，n 的正负不确定.故选 D.4.已知不等式 ax25xb0 的解集为x|3x2，则不等式 bx25xa0 的解集为()A.x12x13B.xx13或x12C.x|3x2D.x|x3 或 x2解析：选 A 由题意得5a32，ba3（2），解得a1，b6，所以不等式 bx
3、25xa0 为6x25x10，即(3x1)(2x1)0，所以解集为x12x13，故选 A.5.(2019 广州市调研测试)已知点 A(2，1)，O 是坐标原点，点 P(x，y)的坐标满足2xy0，x2y30，y0，设 zOPOA，则 z 的最大值是()A.6 B.1C.2 D.4解析：选 D 法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示.zOPOA2xy，作出直线 2xy0 并平移，可知当直线过点 C 时，z 取得最大值.由2xy0，x2y30得x1，y2，即C(1，2)，则 z 的最大值是 4，故选 D.法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域.zOPOA2x
4、y，易知目标函数 z2xy 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(3，0)代入 z2xy，对应 z 的值为 0，4，6，故 z 的最大值是 4，故选 D.6.已知 aR，不等式x3xa1 的解集为 p，且2p，则 a 的取值范围为()A.(3，)B.(3，2)C.(，2)(3，)D.(，3)2，)解析：选 D 2p，232a1 或2a0，解得 a2 或 a3.7.若1a1b0，给出下列不等式：1ab0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中正确的不等式的序号是()A.B.C.D.解析：选 C 法一：因为1a1b0，故
5、可取 a1，b2.显然|a|b1210，所以错误，综上所述，可排除A、B、D，故选 C.法二：由1a1b0，可知 ba0.中，因为 ab0，所以 1ab 1ab，故正确；中，因为 baa0，故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为 ba0，又1a1b1b0，所以 a1ab1b，故正确；中，因为 baa20，而 yln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.8.已知x(1，)，不等式 2xm 8x10 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.m10 B.m10C.m8 D.m8解析：选 A 原不等式可化为m2x 8x1，令 f(x)2x 8x1
6、，x(1，)，则 f(x)2(x1)8x122 2（x1）8x1210，当且仅当 2(x1)8x1，即 x3 时，f(x)取得最小值 10，因此要使原不等式恒成立，应有m10，解得 m10，故选 A.9.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15 万元B.16 万元C.17 万元D.18 万元解析：选 D 设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利润 z 万元，由题意可知3x2y12，
7、x2y8，x0，y0，z3x4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线 z3x4y 过点 M时取得最大值，由3x2y12，x2y8得x2，y3，M(2，3)，故 z3x4y 的最大值为 18，故选 D.10.已知函数 f(x)x2ax，x0，2x1，x0，若不等式 f(x)10 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.(，0)B.2，2C.(，2 D.0，2解析：选 C 由 f(x)1 在 R 上恒成立，可得当 x0 时，2x11，即 2x0，显然成立；又 x0 时，x2ax1，即为 ax21xx1x，由 x1x2 x1x2，当且仅当 x1 时，取得最小值 2，可得 a
8、2，综上可得实数 a 的取值范围为(，2.11.如果实数 x，y 满足不等式组xy30，x2y30，x1，目标函数 zkxy 的最大值为 6，最小值为 0，则实数 k 的值为()A.1 B.2C.3 D.4解析：选 B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.则 A(1，2)，B(1，1)，C(3，0)，因为目标函数 zkxy 的最小值为 0，所以目标函数 zkxy 的最小值可能在 A 或 B 处取得，所以若在 A 处取得，则 k20，得 k2，此时，z2xy 在 C 点有最大值，z2306，成立；若在 B 处取得，则 k10，得 k1，此时，zxy，在 B 点取得最大值，故不成立，故
9、选 B.12.若两个正实数 x，y 满足 13x3y1，且不等式 xy4n213n12 0 有解，则实数 n 的取值范围是()A.2512，1B.，2512(1，)C.(1，)D.，2512解析：选 B 因为不等式 xy4n213n12 0 有解，所以xy4 minn213n12，因为 x0，y0，且 13x3y1，所以 xy4xy4 13x3y 13123xy y12x13122 3xy y12x2512，当且仅当3xy y12x，即 x56，y5 时取等号，所以xy4 min2512，故 n213n12 25120，解得 n2512或 n1，所以实数 n 的取值范围是，2512(1，).二
10、、填空题13.已知函数 f(x)(x1)(xb)为偶函数，则 f(3x)0 的解集为_.解析：由函数 f(x)x2(b1)xb 是偶函数，得 b10，b1，f(x)x21.f(3x)0，即(3x)210，解得 2x4.因此，不等式 f(3x)0 的解集是(2，4).答案：(2，4)14.(2019蓉城名校联考一)若xR，2x2mx30 恒成立，则实数 m 的取值范围为_.解析：根据题意知 2x2mx30 最多有一个实数根，所以(m)24230，得2 6m2 6，故 m 的取值范围是2 6，2 6.答案：2 6，2 615.(2019广州市调研测试)若 x，y 满足约束条件x2y50，x3y50
11、，2xy50，则 zx2y2 的最大值为_.解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，zx2y2 表示平面区域内的点到坐标原点 O 的距离的平方，则 zx2y2 的最大值在点 A 处取得.由x3y50，2xy50得x4，y3，所以 zx2y2 的最大值为 423225.答案：2516.(2019湖南岳阳期末改编)若 a0，b0，且 a2b40，则 ab 的最大值为_，1a2b的最小值为_.解析：本题考查基本不等式的应用.a0，b0，且 a2b40，a2b4，ab12a2b12a2b222，当且仅当 a2b，即 a2，b1 时等号成立，ab 的最大值为 2.1a2b1a2b a2b41452ba 2ab 14522ba 2ab 94，当且仅当 ab 时等号成立，1a2b的最小值为94.答案：2 94
