1、第25讲 等比数列 第25讲 等比数列 1等比数列的定义 如果一个数列从第_项起，每一项与它前一项的比是同一个常数(不为零)，则称这个数列为等比数列这个常数叫这个等比数列的_ 2等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an_amqnm(其中 mnN*)3等比中项 如果_，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 知识梳理 第25讲 知识梳理 二 a1qn1 公比 a，G，b成等比数列 第25讲 知识梳理 4等比数列的前 n 项和公式 等比数列an的公比为 q，首项为 a1，前 n 项和为Sn.(1)当 q1 时，Sn_；(2)当 q1 时，Sn_或 Sn_.na
2、1 a1（1qn）1q a1anq1q 第25讲 知识梳理 递增 递减 (非零)常 摆动5等比数列的性质(1)等比数列的单调性 设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，当 q1，a10 或 0q1，a10 时，数列an为_数列；当 q1，a10 或 0q1，a10 时，数列an为_数列；当 q1 时，an是_数列；当 q0 时，an是_数列 第25讲 知识梳理 首末两项之积 (2)通项特征 等比数列的通项公式 ana1qn1 可推广为 an_；若 mnpq，则 (其中 m、n、p、qN*)；an是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项的积相等且都等于_ amqnm amanapaq 第25讲
3、 知识梳理(3)前 n 项和的性质 设 Sn是等比数列an的前 n 项和，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 满足关系式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，但不能说 Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列.如当 an(1)n时，S100，S20S100，S30S200 不成等比数列；若数列an的项数为 2n，则S偶S奇_，其中 S 偶、S 奇分别是数列的偶数项之和、奇数项之和 q 要点探究 探究点1 等比数列中基本量的计算第25讲 要点探究 例 1(1)2010福建卷 在等比数列an中，若公比 q4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an_.(2)2010浙江卷 设 Sn为等
4、比数列an的前 n项和，8a2a50，则S5S2等于()A11 B5 C8 D11(3)2010江西卷 等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则 an()A(2)n1 B(2)n1 C(2)n D(2)n 第25讲 要点探究 思路(1)只要根据求和公式求出等比数列的公比即可；(2)同一个等比数列前n项和与前m项和的比值与首项无关，故只要根据条件求出等比数列的公比即可；(3)根据所给的已知条件通过方程和不等式确定该等比数列的首项和公比 答案 (1)4 n1(2)D(3)A 第25讲 要点探究 解析(1)由题意知 a14a116a121，解得 a11，所以通项公式 an4n1.(2)由
5、 8a2a50 得 8a1qa1q40，q(8q3)0，q2，不妨把该数列特殊化为 1，2,4，8,16，则S5S2 11111.(3)设公比为 q，由 a58a2得 a1q(q2)(q22q4)0，q2，由 a5a2得 18a10，即 a10，a11，故 an(2)n1，选 A.第25讲 要点探究 点评 在等比数列中的通项公式和求和公式中涉及a1，q，an，Sn，n五个量，只要知道了其中的三个量就可以通过解方程组的方法求出另外两个量，但等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等比数列问题中，要紧紧抓住这两个量，如下面的变式 第25讲 要点探究(1)2010枣庄模拟 正项等比数列an的前
6、n 项和为 Sn，且 S57 26，S7S214 212，则公比 q 等于()A.2 B2 C2 2 D4(2)2009海南、宁夏卷 等比数列an 的前 n 项和为Sn，且 4a1,2a2，a3成等差数列若 a11，则 S4()A7 B8 C15 D16 第25讲 要点探究 解析(1)显然公比 q1.已知条件即S7S2S52，根据等比数列求和公式即q2q71q52，即 q22，由于是正项等比数列，故 q 2.(2)4a1,2a2，a3成等差数列，4a1a34a2，即 4a1a1q24a1q，所以 q24q40，解得 q2，所以 S415.答案 (1)A(2)C 探究点2 等比数列的判定第25讲
7、 要点探究 例 2 2010上海卷 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且Snn5an85，nN*.(1)求证：an1是等比数列；(2)求数列Sn的通项公式，并求出使得 Sn1Sn 成立的最小正整数 n.第25讲 要点探究 思路(1)根据 anSnSn1(n2)，把已知式降低一个角标后两式相减即可建立 an，an1之间的关系式，然后只要证明 an1q(an11)(n2，q 为常数)即可；(2)根据(1)即可求出数列an1 的通项公式，也就求出了an 的通项公式，代入已知式即可求出 Sn，然后解不等式即可 第25讲 要点探究 解答(1)由已知得 S115a185a1，a114，当 n2 时，Sn
8、n5an85，Sn1(n1)5an185，两式相减得 6an5an11，变形得 an156(an11)，又 a11150，故an1 是首项为15，公比为56的等比数列(2)由(1)知 an11556n1，得 an11556n1，从而 Sn7556n1n90(nN*)；由 Sn1Sn得56n1log56225114.9，故最小正整数 n15.第25讲 要点探究 点评 当已知是含有 an，Sn的混合关系式时，一般是把它们转化为只含有一种类型的关系式，再通过变换这个关系式进行转化证明一个数列是等比数列的基本方法是根据其定义，即证明 an1qan，数列试题中，通过证明一个数列是等比数列往往是求已知数列
9、通项公式的手段，如下面的变式 第25讲 要点探究 1 设数列an 的前 n 项和为 Sn2an2n，求证an12an是等比数列，并求数列an 的通项公式 思路 把已知式升一个角标，相减后建立an1，an的递推关系式，然后根据等比数列的定义进行证明 第25讲 要点探究 解答 因为 a1S1,2a1S12，所以 a12.由 a1a22a24 得 a26.由于 Sn2an2n，故 Sn12an12n1，后式减去前式得an12an12an2n，即 an12an2n，所以 an22an12an12n12(2an2n)2(an12an)，所以数列an12an 是首项为 2、公比为 2 的等比数列此时 an
10、12an2n，两端同时除以 2n1得an12n1an2n12，故数列an2n 是首项为a121，公差为12的等差数列，所以an2n1(n1)12n12，所以 an(n1)2n1.第25讲 要点探究 2 已知数列an的首项 a123，an1 2anan1，n1,2,3，求证：数列1an1 是等比数列，并求数列an 的通项公式 思路 把已知式取倒数后，根据等比数列的定义进行证明 第25讲 要点探究 解答 an1 2anan1，1an1an12an 12121an，1an11121an1，又 a123，1a1112，数列1an1 是以12为首项，12为公比的等比数列，此时1an112 12n112n
11、，即1an12n1，an 2n2n1.探究点3 等比数列的性质第25讲 要点探究 例 3(1)2009广东卷 已知等比数列an的公比为正数，且 a3a92a25，a21，则 a1()A.12 B.22 C.2 D2(2)2010全国卷 已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6()A5 2 B7 C6 D4 2 第25讲 要点探究 答案 (1)B(2)A思路(1)可以根据已知条件列方程通过基本量方法求解，也可以根据等比数列的性质“对任意正整数 m，n，p，q，mnpqamanapaq”从整体上求解；(2)采用基本量方法求出 a1，q 可以解决，利用等比数
12、列的性质整体求解也可，因为 a4a5a6a1a2a3q9，只要求出 q9的值即可 第25讲 要点探究 解析(1)方法 1：设公比为 q，由已知得a1q2a1q82a1q4 2，即 q22，因为等比数列an的公比为正数，所以 q 2，故 a1a2q 12 22，选 B.方法 2：根据等比数列的性质 a3a9a262a25，由于公比是正数，即 q 为正数，故 a6 2a5，所以 q 2，所以 a1a2q 22.第25讲 要点探究(2)方法 1：根据已知 a31q35，a31q2110，两式相除得 q182，由于数列是正项的，故 q2 118，代入 a31q35，得 a31 5216，故 a4a5a
13、6a31q12 521622352.方法 2：根据等比数列性质得 a325，a3810，两式相除得a38a322，即 q182，由于数列是正项的，故 q92，所以 a4a5a652.方法 3：根据等比数列的性质，把等比数列各项等距离分段后，各个段的乘积也是等比数列，故 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也是等比数列，故(a4a5a6)2510，根据数列是正项数列得 a4a5a65052.第25讲 要点探究 点评 在一个无穷等比数列中，其中任何一项都是和这项项数距离相等的两项的等比中项，即a2mamkamk(m，k 为正整数且 mk)等比数列的项经过适当地组合后组成的新数列也具有某种性质，
14、在解题中要善于发现这些性质 探究点4 等比数列的前n项和第25讲 要点探究 例 4(1)已知数列an是等比数列，a22，a514，则 a1a2a2a3anan1()A16(14n)B16(12n)C.323(14n)D.323(12n)(2)2010安徽卷 设an 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BYYX ZZX CY2XZ DYYX XZX 第25讲 要点探究 答案 (1)C(2)D 思路(1)根据等比数列的特点，新的数列anan1 也是等比数列，求出公比和首项，按照求和公式计算；(2)根据等比数列的特
15、点，只要等比数列的公比不等于1，则 X，YX，ZY 成等比数列 第25讲 要点探究 解析(1)由 a514a2q32q3，解得 q12.数列anan1仍是等比数列，其首项是 a1a28，公比为14.所以 a1a2a2a3anan18114n114323(14n)(2)根据等比数列的性质，在等比数列中，当公比不等于1 时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，故 X，YX，ZY 成等比数列，故(YX)2X(ZY)，即 Y2XYXZX2，即 Y(YX)X(ZX)，只有这个是恒成立的 第25讲 要点探究 点评 由于等比数列的“等比”，故由等比数列中的项按照新的规则组成的数列也可能是等比数列，这个
16、特点在解题中可以极大地优化解题思路值得注意的是本例的(2)就是人教A版教材必修5数列一章复习题B组第1题第(2)小题的简单变化，在这个试题中要考虑等比数列的一般情况，如果从片面考虑，即公比等于1的情况，就会出现判断错误等比数列的求和要注意公比等于1和不等于1的情况.规律总结 第25讲 规律总结 1等比数列中的最基本的量是首项 a1和公比 q，在解题中要根据已知条件建立关于 a1，q 的方程或者方程组，从而建立其 a1，q 的关系式或者是求出 a1，q，方程思想在解决等比数列问题中占有重要位置 2等比数列的求和要分公比等于 1 和不等于 1 两种情况，在不能确定公比取值的情况下，要分类求和 第25讲 规律总结 3在公比 q1 时，等比数列的通项公式和求和公式都含有 q 的方幂，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用 4等比数列最重要的性质是：(1)“对任意正整数 m，n，p，q，mnpqamanapaq”；(2)q1 时，Sn，S2nSn，S3nS2n，也是等比数列 5证明一个数列是等比数列的基本方法是定义
