1、第六节 指数与指数函数基础梳理1.根式(1)定义：如果xna，那么x叫做a的_，其中n1，n.当n是奇数时，正数的n次方根是一个_，负数的n次方根是一个_，记作_当n是偶数时，正数的n次方根有_，这两个数互为_，记作_，负数没有_方根，零的n次方根是零n an a负数 偶次n次方根正数两个相反数N(2)两个重要公式(注意：a必须使有意义),0,0nnnaana，是奇数是偶数nn（a）-aa|a|aan a2.有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：_(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：_.(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_(2)实数指数幂的性质a
2、ras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(a0，r，sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)nmanmanma1mna1nma没有意义0arbrar+s ars3.指数函数的定义一般地，函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量4.指数函数的图象与性质y=axa10a0时，_；当x0时，_；当x10y10y1增函数减函数1.(教材改编题)化简(x0，y0)得()A.3x2yB.3xy C.9x2yD.-3x2y基础达标844 81x yD 解析：118484484244481(81x y)(3(-x)(-y)3x yx y 2.若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则有()
3、A.a=1或a=2 B.a=1C.a=2 D.a0且a1C 解析：由y=(a2-3a+3)ax为指数函数，可得即a=2.233101aaaa 且1201aaaa 或且3.已知集合M=-1,1，N=，则MN=_.11242xxZ-1 解析：2x+14 即为212x+122，因为y=2x在R上是增函数，所以1x+1b0，求的值经典例题题型一 指数运算性质的应用1122ab1200.533310(2)(0.064)(2)(0.01)5277332aa38315aa=a=-2+解(1)原式=1+254311052916110243807632138312153127612435223435212-1-
4、=1+(2)原式=a a-(a-a )-(a-a =a+-=a-.)(3)由条件知a+b=6，ab=4，又ab0，所以 121211 222ab2abab 62 410a+b=.【例2】已知函数 (1)作出函数的图象；(2)指出该函数的单调递增区间；(3)求函数的值域 题型二 指数函数的图象的应用|2|12xy 解：(1)由函数解析式可得 其图象分成两部分：一部分是的图象，由下列变换可得到：另一部分y=2x+2(x0恒成立，所以定义域为R.又因为 ，而所以 ，解得0y1，所以值域为(0,1)10121x2112121xxxy 11021x(1)定义域为R，因为-x+1=.(2)令-x2-3x+
5、40，解得-4x1，所以函数的定义域为-4,1设 (-4x1)，易得u在时取最大值 在x=-4或1时取最小值0，即0u 所以函数y=2u的值域为即函数的值域为2 342xxy234uxx32x 525022,2522 342xxy1,4 2 下列函数中值域为正实数集的是()A.B.C.D.变式3-1 113xy 21xy 115xy112xyA 解析：A中的值域为正实数集，而1-xR，的值域为正实数集；B中，当x=0时，2x-1=0；C中，y取不到1；D中，函数值域为0,1)13xy 113xy【例4】已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，(1)求f(x)在-1,1
6、上的解析式题型四 指数函数性质的综合应用2()41xxf x(2)求证：f(x)在(0,1)上是减函数.解（1）当x(-1,0)时，-x(0,1)f(x)是奇函数，由f(0)=f(0)，且f(1)=f(2+1)=f(1)=f(1)，得f(0)=f(1)=f(1)=0.在区间-1,1上，有22()()4141xxxxf xfx2,0,1412(),1,0410,1,0,1xxxxxf xxx（2）证明：当x（0,1）时，2()41xxf x 设0 x1x21,则f(x1)-f(x2)=-=设0 x1x20,2x1+x2-10 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)在（0,1）上
7、是减函数。2 14 1 1xx 2 24 21xx 2 22 1 2 12 14 1 1 4 2 1xxxxxx 易错警示【例】设a0且a1，如果函数f(x)=a2x+2ax1在1，1上的最大值为14，求a的值错解 当x=1时，f(x)有最大值，即a2+2a1=14，a2+2a15=0，a=3(a=5舍去)错解分析 错解中：(1)忽略了字母参数a1与0a1时，ax ，令t=ax，则y=(t+1)2-2，t ，易知y=(t+1)22在 上单调递增当t=a，即ax=a时，ymax=(a+1)22=14，a=3(a=5舍去)1 aa1 aa1 aa正解(2)当0a1时，ax；同(1)得当t，即ax时，ymax214，解得a.综上所述，a或a3.1,a a1a1a131321(1)a
