1、数学答案 第 1 页（共 18 页）2022 年高考模拟演练 数学参考解答一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设向量(3,2)a，(,2)mb，若ma b，则ab A.(1,0)B.(2,0)C.(4,0)D.(5,0)【解析】由题，34mma b，解得2m，所以(3,2)(2,2)(5,0)ab.【命题分析】本题属于简单题，考察向量坐标形式的加法运算和数乘运算.2.已知集合()(2,)PQ R，(2,1)PQ ，则Q A.(2,)B.(,1)C.(,2 D.1,)【解析】根据右边的 Venn 图：I 区表示()P
2、QR；II 区表示 PQ；III 区表示()QPR；IV 区表示()PQR.由题，集合()PQR对应于 I 区，II 区，IV 区的并集，所以 III 区对应(,2，从而Q 对应 II 区，III 区的并集，故(,1)Q .【命题分析】本题属于简单题，考察集合的交、并、补运算.在确保试题难度合理的同时适当创新，引导考生通过 Venn 图进行直观思考，避免了繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案.需要注意的是，解析中的四个分区可能有空集（这时存在集合间的包含关系），但两两相交一定是空集.3.若圆22()(1)4xay(0)a 与单位圆恰有三条公切线，则实数 a 的值为 A.3 B.2 C.2 2
3、D.2 3 【解析】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切线），因此圆心距22121a ，结合0a 解得2 2a.【命题分析】本题属于简单题，考察圆与圆的位置关系与公切线问题.近年高考题中大多考察圆与直线的位置关系，但圆与圆的位置关系也是很重要的知识点，不可忽略.IIIIIIIV数学答案 第 2 页（共 18 页）4.以下结论中错误的是 A.经过不共面的四点的球有且仅有一个B.平行六面体的每个面都是平行四边形C.正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D.棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直【解析】D 选项错误，棱台的侧棱只要求汇于一点，并不要求与底面不垂直.【命题分析】
4、本题属于简单题，考察几何体的概念与基本性质、立体几何中的基本定理等.棱锥、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台、球是立体几何的基本几何体，其中的概念需要熟练掌握；特别地，直棱柱、正棱柱、平行六面体等更为精细的概念，更需要回归课本，加以区分.5.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220.设222225abcd，其中 a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(,)a b c d 的个数是 A.28B.24C.20D.16【解析】显然 a，b，c，d 均为不超过
5、 5 的自然数，下面进行讨论.最大数为 5 的情况：2222255000，此时共有14A4种情况；最大数为 4 的情况：2222254300，此时共有24A12种情况；2222254221，此时共有24A12种情况.当最大数为 3 时，222222223322253321，故没有满足题意的情况.由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(,)a b c d 的个数是 4 12 1228.【命题分析】本题属于中档偏易题，以四平方和定理为命题背景，考察分类讨论和计数原理.数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，其中的颇多问题吸引着无数的数学家和数学爱好者研究，例如其中最负盛名的 Goldbach猜想、孪生素数
6、猜想、Fermat 大定理、Riemann猜想等问题，仍然是当今数学界耀眼的明珠.2018 年全国 II 卷就曾以 Goldbach 猜想为背景，考察古典概型，而本题可谓是对该题的致敬.数学答案 第 3 页（共 18 页）6.“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为1lnnBiiiSkpp ，其中i表示所有可能的微观态，ip 表示微观态i 出现的概率，Bk 为大于 0 的常数.则在以下四个系统中，混乱程度最高的是A.1212pp B.113p，223p C.12313pppD.116p，213p，312p【解析】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）.A.系统的混乱程度1111l
7、nlnln 22222AS；B.系统的混乱程度3112224lnlnln2ln3ln333333BS；C.系统的混乱程度11111lnlnln3ln333333CS；D.系统的混乱程度311111111lnlnlnln 2ln3ln4ln366332232DS .其中CS 最小，从而 C 选项对应的系统混乱程度最高.【命题分析】本题属于中档题，以“熵”为命题背景，考察信息提取能力（重点）和对数大小的比较（次重点）.“熵”是统计物理学和信息学常用的概念，高考曾多次或直接或间接地进行考察，例如 2005 年全国 I 卷 22 题，2020 年新高考卷 12 题.本题要求相对而言较低，考生只需读懂公
8、式，针对具体的情况进行计算即可.选项的设置类似于2020 年全国 III 卷 3 题，给出四种情形下的概率分布，但本题需要逐一求解，相对耗费时间更多.a7.已知，(0,)，2tan()32，6cos()63，则cos(2)A.5 39 B.33 C.5 39 D.33【解析】根据待求式的结构，可以考虑这样的构造：22()()362.根据诱导公式，cos(2)cos2()()sin2()()36236.22tan()2 23sin2()33tan()13，22tan()113cos2()33tan()13；6cos()63，()(0,)62，所以3sin()63，故3cos(2)3.【命题分析】
9、本题属于中档题，考察诱导公式和三角恒等变换.数学答案 第 4 页（共 18 页）a8.下图为正三棱柱 ABCDEF的一个展开图，若 A，1A，2A，D，1D，2D 六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线 AE 和直线 BF 所成角的余弦值是 A.58B.57C.3 38 D.3 37【解析】六点共圆的示意图如图所示.设原正三棱柱的底面边长为 2a，高为 2b，圆的半径为 r.则有方程组2223,3.barbar 解得22 3rba.从而在原正三棱柱中，高为底面边长的3 倍.设直线 AE 和直线 BF 所成角为，则 cos|AE BFAEBF.由勾股定理，22|(2)(2)4AEBFaba；
10、()()AE BFABBEBEEF2BEAB EF222(2)(2)(2)cos103baaa.故22105cos816|AE BFaaAEBF.【命题分析】本题属于中档偏难题，涉及的知识点较多，主要考察几何体的展开图、异面直线所成的角等.题干以“六点共圆”为条件，是创新的体现.棱柱中异面直线的夹角在高考中考察多次，例如 2018 年全国 II 卷 9 题、2017 年全国 II 卷 10 题等，方法较多，需要熟练掌握.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。数学答案
11、第 5 页（共 18 页）9.已知函数()2sin(2)f xx(0)的图像关于直线 x 对称，则 A.()f x 是奇函数 B.()f x 的最小正周期是 C.()f x 的一个对称中心是(2,0)D.()f x 的一个递增区间是(2,3)【解析】B.()f x 的最小正周期是22T ，B 正确；A.由于()f x 的图像关于直线 x 对称，且最小正周期是 ，因此()f x 的图像也 关于直线0 x 对称，故()f x 是偶函数，A 错误；C.因为是偶函数，且最小正周期是 ，则()2cos2f xx或()2cos2f xx，根据 0 可得解析式为前者.()f x 的对称中心为(,0)()2k
12、k Z，C 错误；D.由于(2,3)(,)2，而()f x 在(,)2 单调递增，D 正确.【命题解析】本题属于中档偏易题，考察三角函数的图像与基本性质.10.已知32()3 ln(21)f xxxx，则 A.()f x 的定义域是 1,)2 B.若直线 ym和()f x 的图像有交点，则3(,ln 22m C.72 3ln163 D.32ln(2 21)29【解析】A.()f x 的定义域是各部分定义域的交集，故 A 正确；B.对()f x 求导数得()3(ln121)fxxx，()fx的单调性不易判断，因此再 设()ln121g xxx ，1121()2121xxg xxxxx.令()0g
13、 x，发现恒成立.故()g x 在 1,)2 单调递增.又因为(1)0g，则()g x 在 1,1)2递增，在(1,)递减.m 的 最大值应为(1)1f ，B 错误；C.由 B 中的分析，7()(1)6gg，代入得72 3ln163，C 正确；D.由 B 中的分析，3()(1)2ff，代入得 93ln2 2122 ，D 错误.【命题分析】本题属于中档题，考察函数与导数，函数的单调性.数学答案 第 6 页（共 18 页）11.设抛物线C：28yx与直线 yxm相交于不同的两点 A，B，弦 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 P，与C 的准线交于Q.下列结论正确的是 A.22m B.弦 AB 中点的
14、纵坐标是定值 C.存在唯一的 m 使得60APBD.存在唯一的 m 使得|PQAB【解析】A.联立直线与C 的方程，消去 x 得2880yym.由题可知64320m，可得2m，错误；B.由 A 中的分析，8AByy，故弦 AB 中点的纵坐标为 4，是定值，正确；C.若60APB，且 P 在 AB 的垂直平分线上，则PAB是正三角形.若设 AB 的中点为 M，则(4,4)Mm，(8,0)Pm，从而|4 2MP，|26432ABm.令 2|3ABMP，解得43m，C 正确；D.抛物线 C 的准线方程是2x ，因此(2,10)Qm，|2(10)PQm.令 2(10)26432mm，化简得2(6)0m
15、，解得6m，D 正确.【命题分析】本题属于中档题，考察直线与抛物线.选项均为基本量的求解，其中 C 选项要求考生建立角度和长度的关系，设问相对新颖，体现了一定的区分度.12.某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品.员工A从这一批产品中有放回地随机抽取 3 件产品，员工 B 从这一批产品中无放回地随机抽取 3 件产品.设员工 A 抽取到的 3 件产品中次品数量为 X，员工 B 抽取到的 3 件产品中次品数量为Y，k 0，1，2，3.则下列判断正确的是A.随机变量 X 服从二项分布B.随机变量Y 服从超几何分布C.()()P
16、XkP YkD.()()E XE Y【解析】A.B.由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；D.设该批产品有 M 件，则515()3E XMM；333355553301CCCC()CCkkkkMMkkMMkkE Y15(1)(2)15(1)(2)MMM MMM，因此 D 正确；C.假若 C 正确，则 D 错误，矛盾！故 C 错误.数学答案 第 7 页（共 18 页）【命题分析】本题属于较难题，考察二项分布和超几何分布的基本概念、概率分布与期望等.二项分布自然不必多言，作为离散型随机变量的典型代表，被高考和各路模拟卷考察已经是家常便饭.同样是离散型随机变量的超几何分布，虽然对分布律形式和
17、期望公式的推导（应该）没有要求，但是既然这个概念被课本单列出来且加粗，还是应该至少做到心里有数.2021 年新高考 I 卷 8 题应该已经给轻视概念的人敲响了警钟，那么尤其是在概率统计的部分，更应该注重基本概念的识记.本题为这两个分布创立了类似的情境，区别仅在于“有放回”和“无放回”，需要考生冷静思考其中的区别.在不给出该批产品总数的情况下，判断选项 C 事实上是有难度的，考场上考生可以通过特值法来排除，也可以类似于解析中的处理方法，先计算数学期望，发现期望相等之后倒推 C 选项得出矛盾.D 选项体现了相当的区分度，如果对超几何分布的性质较清楚，可以马上断定 D 选项正确；若对性质不太清楚，则
18、需要进行组合数和期望的运算，花费时间是比较长的.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若幂函数2(5)ayaax的图像关于 y 轴对称，则实数 a _.【解析】由幂函数可得251aa，解得3a 或2a ，又因为函数图像关于 y 轴对称，则 a 为偶数，所以2a .【命题分析】本题属于简单题，考察幂函数的概念与基本性质.14.请写出一个同时满足|2i|2|zz；2|2z的复数 z：_.【解析】对条件的处理可以采取以下两种方法：（1）设izab，由条件可以得到2222(2)(2)abab，两边平方化简可得 ab，故222|221zabab ，(1i)z ；（2）由复数模
19、的几何意义，若 z 满足|2i|2|zz，则 z 在复平面中对应的点在2i对应点和 2 对应点连线的中垂线上，这条直线与圆|2z 的交点为(1,1)和(1,1)，因而(1i)z ；【命题分析】本题属于中档偏易题，考察复数的几何意义与复数的模.本题以开放性试题为载体，考察复数的模的问题，其中对于条件的翻译尤为关键，既可以选择代数角度（方法（1），也可以是几何角度（方法（2），给予考生多个入口破题，最后殊途同归得到答案.虽然问题本身不难，但创新程度和题目质量可见一斑.数学答案 第 8 页（共 18 页）15.设na是公差非零的等差数列，2a，3a，5a 依次成等比数列，1lg(1)a，2lg(1)
20、a，5lg(1)a 依次成等差数列，则na的前 n 项和为 _.【解析】设na的首项为1a，公差为 d.根据两个条件分别可得：（1）2111(2)()(4)adad ad，所以10a d，又0d，故10a；（2）2111(1)(1)(41)adaad，由（1）代入得2d.所以na的前 n 项和为2nn.【命题分析】本题属于中档偏易题，主要考察等差数列与等比数列的性质.16.已知双曲线C：22221xyab(0,0)ab，直线l 经过C 的左焦点 F，与C 交于 A，B 两点，且OAOB，其中O 为坐标原点.则C 离心率的取值范围是 _.【解析】设11(,)A x y，22(,)B xy，AB：
21、xmyc，与C 的方程联立，消 x 得 222224()20b mayb cmyb.由题可知2220b ma，则222amb，且判别式42224()0b a ma.因为OAOB，所以12120 x xy y，即221212(1)()0my ymc yyc.由韦达定理代入并化简得2422422()0m bb cba c.当422422()()0bb cba c时，解得2242422a cbmbb c.由于222amb，所以22424222a cbabb cb，化简得222ba，所以3e.另一方面，422422()()0bb cba c，即4220ba c，解得152e.且2(15)62 512，
22、所以1532.故C 离心率的取值范围是 15(,3)(3,)2.【命题分析】本题属于中档偏难题，考察直线与双曲线的综合应用.题目中没有出现任何一个数字，关键在于如何转化OAOB这一条件.因为 A，B 两点的坐标不易求出，因而很自然地可以想到可以用数量积为0来转化条件.题干给出的条件事实上是存在性命题，那么相对应地可以得到某方程有解的结论，进而通过方程解的判定求出双曲线离心率的范围.另外，联立直线与双曲线的方程需要格外注意二次项系数与判别式，否则可能会遗漏3 这一特殊情况.数学答案 第 9 页（共 18 页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17
23、.（10 分）数列na满足11a ，122311111nnaaanaaa.（1）求数列na的通项公式；（2）数列4()5nna中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最 小项；若不存在，说明理由.【解析】（1）由于122311111nnaaanaaa，向前写一项并相除得111nnanan，从而1(1)(1)nnnanan，累加可得2n 时12nna.又当1n 时亦符合该通项，因此na的通项公式为12nna，nN.（2）设4()5nnnba.数列nb是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数.所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现.（i）考察奇数项
24、21kb，令2121251161kkbkbk，解得169k，所以有1357bbbb，这表明数列4()5nna的最小项为334128()5125a.（ii）考察偶数项2kb，令22225 21116 23kkbkbk，解得83k，所以有2468bbbb，这表明数列4()5nna的最大项为444128()5125a.综上所述，4()5nna存在最大项和最小项，最大项为第四项128125，最小项为第三项128125.【命题分析】本题属于中档题，考察数列的递推与通项、数列的单调性等.数列的单调性虽然基础，但在大题中不常考察，在一众错位相减、裂项放缩的试题中较为亮眼.数学答案 第 10 页（共 18 页
25、）18.（12 分）如图所示，四棱台1111ABCDA B C D的上下底面均为正方形，侧面11ADD A 与底面垂直，11113BBCCB CBC.（1）求证：平面11ADD A 平面11ABB A；（2）已知四棱台1111ABCDA B C D的体积为 26 3.给出以下两个问题：求异面直线 BC 和1AA 的距离.求1A 到平面11CDD C 的距离.请从以上两个问题中选取一道进行求解.注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分.【解析】（1）在正方形 ABCD 中，有 ABAD.由题设，平面11ADD A 平面 ABCD，且平面11ADD A平面 ABCDAD，所以 AB 平面11ADD
26、 A.而 AB 平面11ABB A，所以平面11ADD A 平面11ABB A.（2）设111133BBCCB CBCx.方法一：利用棱台的体积公式由勾股定理，直角梯形11CDD C 的高221111()5DDCCC DCDx，等腰梯形 11ADD A 的高（也就是四棱台的高）22111()22A DADhDDx.故四棱台1111ABCDA B C D的体积2321 2(310)26 33Vxxxx，解得3x.方法二：复原棱锥如图，延长各侧棱交于原棱锥的顶点 P.则四棱台1111ABCDA B C D的体积1 1 11P A B C DP ABCDVVV，其中1 1 11P A B C DV，
27、P ABCDV 分别表示四棱锥1111PA B C D和 PABCD的体积.数学答案 第 11 页（共 18 页）由于两棱锥位似，因此1 1 11311:(:)27P A B C DP ABCDVVB CBC，所以1 1 1127 3P A B C DV.由勾股定理，直角梯形11CDD C 的高221111()5DDCCC DCDx，等腰梯形11ADD A 的高（也就是四棱台的高）22111()22A DADhDDx.故四棱锥1111PA B C D的高为 332x，1 1 1121 3(3)27 33P A B C DVxx，解得3x.若选择问题求解：由（1）知，AB 平面11ADD A，且
28、 AD 平面 11ADD A，故1ABAA.在正方形 ABCD 中，有 ABBC，因此 AB 是 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx异面直线 BC 和1AA 的公垂线段，所以异面直线 BC 和1AA 的距离为3ABx.故异面直线 BC 和1AA 的距离为3.若选择问题求解：同（1）可知平面11ADD A 平面11CDD C，所以1A 到平面11CDD C 的距离就是1A 到直线1DD 的距离 d.因为111111122DA DSA D hDD d，所以36 1555dh.故1A 到平面11CDD C 的距离是 6 155.【命题分析】本题属于中档题，考察平面与平面垂直的
29、判定、平面与平面垂直的性质、棱台的体积、异面直线间的距离、点与平面间的距离等.棱台曾经为冷门考点，但自从八省联考 13 题与 2021 新高考二卷 5 题问世以来，棱台、圆台的表面积、体积的考察频次在逐步升高.本题第一问为常规几何关系的考察，难度较小；第二问给出两个难度相近的问题，让考生只需选择其中一问作答，体现了新高考的风格，也让考生有选择的余地.需要说明的是，两问均为距离问题，考频较低，且不适合建系求解，在照顾文科生的同时，也让只会建系的考生有些束手无策.数学答案 第 12 页（共 18 页）19.（12 分）在ABC中，角,A B C 所对的边分别是,a b c，3a，2b，sin Am
30、.（1）若ABC唯一确定，求 m 的值；（2）设 I 是ABC的内切圆圆心，r 是ABC的内切圆半径，证明：当21cr 时，ICIA IB.【解析】（1）设 AB 边上的高为ch，则sin20chbAm.当1m 时，由勾股定理，若 A 为锐角，则2294ccchh；若 A 为钝角，则2294ccchh，ABC不能被唯一确定.当1m 时，ABC为直角三角形，其中 A为直角顶点，225cab可以唯一确定，即ABC唯一确定，故 m 的值为 1.（2）当21cr 时，由余弦定理，22223cos23abcrrCab，故由同角三角函数 的 关 系 可 得222221sin1cos()()39CCrrrr
31、，所 以ABC的 面 积 S 221sin(6)()2 abCrrrr.另一方面，1()(3)2Sabc rr r，所以有22(6)()(3)rrrrr r，两边平方可得(2)(1)(3)rrr r，解得512r（负值舍去），215cr，ABC是以 A为直角顶点的直角三角形.因此有2225151()(2)93 522IC，30693 52IC；2225151()()3522IA，102352IA；2225151()(5)322IB，3IB.所以有 ICIA IB成立.【命题分析】本题属于中档偏难题，考察三角形解的数量的判定、解三角形、三角形的面积公式等.三角形解的数量的判定属于冷门知识点，很多
32、考生只能从感觉上判断，而不能转化为数学语言进行描述，可能导致本题处理起来有些许费劲.第二问计算量比较大，如果不能正确找到翻译条件的途径，可能会导致在本题花费太久的时间.数学答案 第 13 页（共 18 页）20.（12 分）设椭圆222:1(04)16xyCbb的右焦点为 F，左顶点为 A.M 是C 上异于 A的动 点，过 F 且与直线 AM 平行的直线与C 交于 P，Q 两点（Q 在 x 轴下方），且当 M 为 椭圆的下顶点时，2AMFQ.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点 S，T 满足 PSSQ，FSST，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值.【解析】（1）当 M
33、 为椭圆的下顶点时，(4,)AMb，则1(2,)22bFQAM.设C 的焦距为 2c，则(2,)2bQ c，即2(162,)2bQb.因为Q 在C 上，故22(162)11164b，解得2216(2 32)8 3b.则椭圆C 的标准方程为221168 3xy.（2）设(,0)F c，直线 PQ 的斜率不为 0，设其方程为 xmyc.联立直线 PQ 和C 的方程，消 x 得222(23)2 3316 30mycmyc.由 PSSQ得 S 为弦 PQ 的中点，故 S2223(,)2323ccmmm.由 FSST得 S 是线段 FT 的中点，故222232 3(,)2323ccmcmTmm.设T 的
34、坐标为(,)x y，则222323xmcm，22 323ymcm，故2422444 33()44 33xmmcmm22248 32 311()344 33mycmm，即2222132xycc，这表明T 在中心为原点，(,0)c为长轴端点，4 12(0,)2 c为短轴端点的椭圆上运动，故T 到两焦点3(1,0)2 c的距离之和为定值.代入得两焦点坐标为(42 3),0).综上所述，平面上存在两定点(42 3,0)，(42 3,0)，使得T 到这两定点距离之和为定值.【命题分析】本题属于难题，考察直线与椭圆的综合应用.题目的条件均通过向量等式给出，简洁而富有内涵.第二问通过待证命题引导考生计算出T
35、 的轨迹是椭圆，从而有 数学答案 第 14 页（共 18 页）目的性地求解T 坐标，并消参得到轨迹方程.动点轨迹为椭圆的解析几何问题高考也曾有过考察，例如 2003 年理数 21 题，如果本题完成下来有困难的同学可以参考该题.【命题过程】由椭圆内的垂径定理可知22OSPQbkka 为定值，所以 S 在以O，F 为长轴端点 的某椭圆上.构造点T，事实上OS 是FF T的中位线，所以OS/F T，从而22F TFTbkka 为定值，故T 以 F，F 为长轴端点的某椭圆（中心在O）上.21.（12 分）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系.设t 时刻甲、乙种群的数量分别为()f t
36、，()g t（起始时刻为0t）.由数学家 Lotka 和 Volterra 提出的模型是，函数()f t，()g t 满足方程()()()()ftaf tbf t g t，()()()()g tcg tdf t g t，其中 a，b，c，d 均为非负实数.（1）下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图.为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：()f tm tn；()tf tm n，其中 m，n 均为大于 1 的正数.根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由；（2）设0.08ac，20.008db.（i）函数0.08()e2()()tF tf t
37、g t的单调性；（ii）根据（i）中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝.注：在题设条件下，各种群数量均有上限值.100103107112119125134150170195901101301501701902100123456789t甲种群数量数学答案 第 15 页（共 18 页）【解析】（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快.而增长速度大致对应种群数量对时间的导数.如选用模型，()2mf tt，()ft是关于时间的减函数，不符合折线图；如选用模型，()lntf tnn，()ft是关于时间的增函数，不符合折线图.所以应选用模型预
38、测甲种群数量的变化趋势.（2）由题设知()0.08()0.004()()ftf tf t g t，()0.08()0.008()()g tg tf t g t.（i）0.08()e2()()tF tf tg t，0.08()e 0.16()0.08()2()()tF tf tg tf tg t.消去条件中的()()f t g t 得()0.08()2()0.08()g tg tftf t，所以()0F t.所以()F t 为常函数.（ii）由（i），()(0)2(0)(0)F tFfg，0.082()()2(0)(0)etf tg tfg.由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分
39、别为1M，2M.若(0)2(0)gf，()2()g tf t.则当2225 ln2(0)2(0)Mtgf时，0.081()()(2(0)(0)e12tf tg tfg，此时可以近似认为甲种群灭绝；若(0)2(0)gf，()2()g tf t.则当1225 ln22(0)(0)Mtfg时，0.08()2()(2(0)(0)e1tg tf tfg，此时可以近似认为乙种群灭绝；若(0)2(0)gf，()2()g tf t，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况.综上所述，对所有(0)2(0)gf的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝.【命题分析】本题属于中档偏难题，考察非
40、线性回归、创新情境等.本题是本卷最大的亮点之一，结合生态学知识、线性微分方程组等知识，以统计学基础知识为载体，考察考生的综合能力.众所周知，自 2017 年起，全国卷将概率统计题的地位不断提高，在2019 年一卷放到了压轴的位置，2018 年一卷、2021 年新高考二卷等放到了次压轴的位置，重视程度可见一斑.先说背景，不知是有意或者无意，全国卷非常喜欢考察的一个数学答案 第 16 页（共 18 页）方向是与生物结合（或许是命题组里有生物统计学的教授？）：2019 一卷 21 题小白鼠与药物有效性检验；2020 年二卷 18 题生态系统与野生动物数量；2021 年新高考二卷 21 题微生物繁殖所
41、以本题也正是基于此给定的背景生态系统中的种间竞争.再说内核，全国卷概率统计之所以难，一方面可能是题目变长，理解起来更费劲些，但更主要的原因是思想方法上的突破.在 2018 年之前，没人想过概统题会用导数；19 年之前，没人想过能与数列结合；2021 年之前，没人想过能与%&结合.（这一段说的比较绝对，只是为了加强语气，不是真的没人的意思.求生欲求生欲求生欲）事实上，在学过相应的知识后，背景是很明显的.2019 年那道小白鼠，是非常典型的马尔可夫链（Markov Chain）；去年题目构造的让人一头雾水的函数，事实上是母函数（生成函数，Generating Function）的具体化.数列和导数
42、，都只是研究手段，而不是问题的核心所在.所以市面上笔者所看到的模拟卷概率统计，常规的出法我就不多说了，大部分是想要创新但是创不到点子上（这里给要特别表扬“星云”线上联考，五一的考试大胆地将数理统计中“极大似然估计法”作为命题材料，极富有新意且难度适中，可以作为概率统计创新题目的标杆）.回到本题，非齐次线性微分方程组本身是非常麻烦的，在初值不确定的情况下，更是可能出现多种多样的解.而本题并不将重心放在解方程组本身，而是利用方程组来讨论解的性质.（2）中（i）小问具有很强的提示性，引导考生通过考虑给定函数的单调性求出两种群数量间的关系；注解也耐人寻味，种群数量有上限值和指数函数的无界性产生了激烈的
43、矛盾，诱导考生思考种群数量的变化趋势.由于题干给出的条件并没有具体的数，所以思考起来可能会有一点抽象，而这也是本题拉开差距的地方之一.当然，概率与统计的上限也是很高的，然而能下放作为高中考题的并不多.这是因为，除了二项分布、超几何分布，其它的任何分布几乎都需要用到无穷级数和广义积分的知识，也很难通过一些手段转化为高中考纲内的知识.所以要想解决一些创新情境的较难题，还是要靠扎实的基本功，以及强大的心理素质.对于非高三的同学，如果学有余力的话，可以尝试看一些简单的随机过程（如马尔科夫链、随机游动等）、生成函数与特征函数（后者对复数的要求比较高）、参数估计等知识.对于命题老师（特别是不直接参与教学的
44、老师），我个人的建议是，至少应该了解基本的概率论、数理统计、随机过程的知识；如果想模仿高考题但追求质量，坚决不能只模仿表面，内核更重要.数学答案 第 17 页（共 18 页）22.（12 分）设函数()lnlnf xxaax，1a .（1）若对任意4,)x，都有()0f x ，求 a 的取值范围；（2）设2(,)()()()ng x nf xf xf x，nN.当01x 时，判断(,)g x n，(,2)g xn，(,3)g xn 是否能构成等差数列，并说明理由.【解析】（1）()f x 的定义域是(0,)，ln()ln()lnaaafxaxxxa.若4lnaa，则当4,)x 时，()0fx，
45、()f x 在4,)单调递增，()0f x 等价于(4)0f，即 4lnln40aa，由1a 得42lnln 4ln 2aa.设()lnxh xx，1x .2ln1()lnxh xx，故()h x 在(0,e)单调递减，在(e,)单调递增，而2(2)(4)ln 2hh，所以2lnln 2aa的解集为2,4.若4lnaa，则()f x 在4,)lnaa 单调递减，在(,)lnaa 单调递增，()0f x 等价于()0lnafa，即ln0lnaaaa，即elnaa，矛盾！故 a 的取值范围是2,4.（2）()lnlnlnlnnnnnf xxaaxxaanx.21(,)()()()(ln)(1)(l
46、n)(12)nng x nf xf xf xxaxxaxnlnln(1)(1)12nxaaxxn nx.同理可得2lnln(,2)(1)2(21)12nxaaxg xnxnnx，3l nl n(,3)(1)3(31)12nxaaxg xnxnnx.所以22ln(,)(,3)2(,2)ln(1)1nnxag x ng xng xnanxxxx.下面证明(,)(,3)2(,2)0g x ng xng xn.22ln()ln(1)1nnaxg xanxxxax，且由（1）知 ln1eaa，所以只需证明(0,1)x时，22ln(1)0e(1)nnxnxxxx.令(0,1)ntx，即证2ln(1)0e(
47、1)nntntttt.数学答案 第 18 页（共 18 页）设2()ln(1)e(1)nntF nntttt，1n.22()(1)ln1ln0e(1)nntF nttttt，所以22(1)()(1)ln(1)lne(1)etttF tFttttt .设2(1)()lnettG tt，23212332e()0eettttG ttt ，故()G t 在(0,1)单调递减，()(1)0G tg.所以(,)(,3)2(,2)0g x ng xng xn，故(,)g x n，(,2)g xn，(,3)g xn 不能构成等差 数列.【命题分析】本题属于难题，考察导数与函数的单调性、不等式恒成立等.（1）虽
48、然不易分离参数，但是 a 和 x 有明显的结构相似性，可以通过类似分参的方法说明，也可以通过参考答案所示方法进行分类讨论.（2）为不等式的证明问题，难度较大，涉及多参数的不等式.将(,)(,3)2(,2)g x ng xng xn求出并化简，侧面考察了等差数列和等比数列的求和，弥补了 17 题中相关知识的空缺.在化简完之后，可能有同学想直接通过导数来求单调性，从而得出结论，但是实操一下就会发现，两个未知参数给讨论增加了很多麻烦，因此可以尝试通过放缩，依次消去两个参数，从而得到一个更为简单的不等式，进而可以得出结论.值得注意的是，全国卷对于多参数函数的考察较少，主要集中在零点问题，所以对于不等式的证明也需要做到心中有数.附：多参数的相关练习极光杯 III 22 题22.（12 分）已知实数,()a b c d acdb满足 eeeebadckbadc.（1）求 k 的取值范围；（2）若ee2(ee)abcd恒成立，求 dcba的取值范围.命题、解答、审核：熊猫猫
