1、课时评价作业基础达标练1.（多选题）已知四边形ABCD为矩形,PA 平面ABCD ,连接AC,BD,PB,PC,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( )A.PC 与BDB.DA 与PBC.PD 与ACD.PA 与CD答案：BD2.（2021北京海淀高二期末）已知四面体ABCD 的棱长都是2,点E 是AD 的中点,则BACE= ( )A.1B.-1C.3 D.-3答案：A3.（2020四川雅安中学高二月考）若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形,则cosDE|DE|=25DE .9.（多选题）在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,下列结论正确的有( )A.四边形ABC1D1 的
2、面积为|AB|BC1|B.AD1 与A1B 的夹角为60C.(AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12D.A1C(A1B1-A1D1)=0答案：ACD10.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=60, 则AD1AC= ;|AC1|= .答案：3; 10素养提升练11.已知MN 是正方体的内切球的一条直径,点P 在正方体的表面上运动,正方体的棱长是2,则PMPN 的取值范围为( )A.0,4B.0,2C.1,4D.1,2答案： B解析：设正方体的内切球的球心为O ,则OM=ON=1 ,PMPN=(PO+OM)(PO+
3、ON)=PO2+PO(OM+ON)+OMON,MN 为该正方体的内切球的一条直径,OM+ON=0,OMON=-1,PMPN=PO2-1 .又P 在正方体的表面上运动, 当P 为正方体的顶点时,|PO| 最大,最大值为3 ;当P 为内切球与正方体的切点时,|PO| 最小,最小值为1,PO2-10,2,即PMPN 的取值范围为0,2.12.在平行四边形ABCD 中,A=60,AB=2,AD=1 ,若M、N 分别是BC、CD 上的点,且满足|BM|BC|=|CN|CD| ,则AMAN 的取值范围是( )A.1,3B.1,5C.2,4D.2,5答案：D解析：设|BM|BC|=|CN|CD|=,0,1
4、,AMAN=(AB+BM)(AD+DN)=(AB+AD)AD+(1-)AB=(1-)AB2+AD2+(1+-2)ABAD=4(1-)+(1+-2)1221=-2-2+5 ,由二次函数的性质易知AMAN2,5 .13.如图,四个棱长均为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,Pi(i=1,2,8) 是上底面其余的八个点,则集合y|y=ABAPi,i=1,2,3,8 中的元素个数为( )A.1B.2C.4D.8答案：A解析：由题图可知,APi=AB+BPi, 则ABAPi=AB(AB+BPi)=AB2+ABBPi,因为ABBPi, 所以ABBPi=0, 又正方体的棱长均为1,所以ABAPi=
5、AB2+ABBPi=1+0=1, 故集合y|y=ABAPi,i=1,2,3,8 中的元素个数为1,故选A.14.已知在矩形ABCD 中,AB=1,BC=3 ,将矩形ABCD 沿对角线AC 折起,使平面ABC 与平面ACD 垂直,则|BD|= ( )A.102B.62C.52 D.2答案：A解析：过点B ,D 分别向AC 作垂线,垂足分别为M,N ,易得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1 .因为BD=BM+MN+ND, 所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BMMN+MNND+BMND)=(32)2+12+(32)2+2(0+0+0
6、)=52,所以|BD|=102 .15.如图,在ABC 和AEF 中,B 是EF 的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3 ,若ABAE+ACAF=7 ,则EF 与BC 夹角的余弦值等于 .答案：16解析：由题意可得BC2=9=(AC-AB)2=AC2+AB2-2ACAB=9+4-2ACAB,ACAB=2 .ABAE+ACAF=7 可得AB(AB+BE)+AC(AB+BF)=AB2+ABBE+ACAB+ACBF=4+AB(-BF)+2+ACBF=6+BF(AC-AB)=6+12EFBC=7.EFBC=2 ,即43cosEF,BC=2 ,cosEF,BC=16 .创新拓展练16.（2021山东
7、济宁实验中学高二期中）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,A1AB=A1AD=BAD=60,AB=AD=AA1=1 .（1）求A1C 的长;（2）求证：A1CBD .命题分析 本题考查了利用空间向量求线段的长度,考查了利用空间向量证明线线垂直,渗透了数学运算、逻辑推理的素养.答题要领 （1）先设AB=a,AD=b,AA1=c, 得到A1C=a+b-c, 再平方即可得到答案.（2）根据第一问得到BD=b-a ,计算A1CBD=0 ,从而得到A1CBD .详细解析 （1）设AB=a,AD=b,AA1=c,则A1C=a+b-c .因为A1AB=A1AD=BAD=60,AB=AD=AA1=1, 所以a2=b2=c2=1,ab=ac=bc=11cos60=12,所以|A1C|2=A1C2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc=1+1+1+1-1-1=2,故A1C=2 .（2）证明：由（1）可知BD=b-a ,所以A1CBD=(a+b-c)(b-a)=ab-a2+b2-ab-bc+ac=0,即A1CBD .解题感悟 长方体、四面体、平行六面体等是研究空间向量的常见几何体,要熟悉其结构特点,善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件.
