1、湖南师范大学附属中学期末模拟（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据交集概念求出，从而可得答案.【详解】因为，所以或或或或或或，所以,因为、满足，所以，所以中元素的个数为.故选：C2. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a，b，c满足，所以，对于A，所以，故A错误；对于B，所以，故B错误；对于C，所以，故C错误；对于D，所以，故
2、D正确；故选：D.3. 已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A. xR，f(x)f(x)B. xR，f(x)f(x)C. x0R，f(x0)f(x0)D. x0R，f(x0)f(x0)【答案】C【解析】【分析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【详解】定义域为R的函数f(x)不是偶函数，xR，f(x)f(x)为假命题，x0R，f(x0)f(x0)为真命题.故选C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4. 若正实数满足，则A. 有最大值4B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值【答案】C【
3、解析】【详解】试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确考点：基本不等式5. 已知是第三象限角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系与二倍角公式即可得解.【详解】由已知得，则原式.故选：D6. 已知，则“存在使得”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存使得时，若
4、为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，即或，亦即存在使得所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.7. 为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%那么此人在开车前至少要休息（ ）（参考数据：，）A. 41小时B. 42小时C. 43小时D. 44小时【答案】B【解析】【分析】由题意知经过小时，血液中的酒精含量为，则，解不
5、等式即可.【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.由，得，则.因为，则，所以开车前至少要休息4.2小时，故选：B【点晴】关键点点晴：实际问题，关键是读懂题意抽象出具体函数.8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可.【详解】由知是周期为2的周期函数，函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点，当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即.当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即 .综上所述
6、,的取值范围是. 故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 下列各小题中，是的充要条件的是（ ）A. p：或；q：有两个不同的零点；B. p：；q：是偶函数；C. p：；q：；D. p：；q：【答案】AD【解析】【分析】A选项利用判别式进行判断，B选项根据分母不为零容易判断，C选项结合同角三角函数的关系判断，D选项根据集合的包含关系判断.【详解】A选项，有两个不同的零点，即，即，解得或，于是是的充要条件，A选项正确；B选项，中所表示的偶函数必须，而中的偶函数的值域无限制，B选项错误；C选项，无法推出，例如，但，进而无法推出，C选项错误；D选项，根据集合
7、的包含关系，故D选项正确.故选：AD10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的最大值为2C. 在区间上单调递增D. 为偶函数【答案】BC【解析】【分析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A，再利用三角函数的图象和性质，得出结论【详解】由图知，的最小正周期，则.由，得.由，得，则，所以.当时，则单调递增.因为，则不是偶函数，故选：BC【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 当时，无零点B.
8、 当时，只有一个零点C. 当时，有两个零点D. 若有两个零点，则【答案】ABD【解析】【分析】判断函数零点转化为判断方程的根，再转化为考察直线和抛物线的位置关系即可求解.【详解】令，则，即，即考察直线和抛物线的位置关系，由图可知， 当时，无零点；当或时，只有一个零点，当且时，有两个零点；若有两个零点，则，是方程的两根，由韦达定理，得，故选：ABD12. 若a，b，cR，且abbcca1，则下列不等式成立的是（ ）A. a2b2c21B. abcC. + 2D. (abc)23【答案】AD【解析】【分析】先利用均值不等式得到a2b2c2abbcca，确定A正确，进而推出BD选项正误，再利用特殊值
9、验证C项错误即可.【详解】由均值不等式知a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，于是a2b2c2abbcca1，故A正确；而(abc)2a2b2c22(abbcca)3(abbcca)3，故D项正确，B项错误；令abc，则abbcca1，但 32，故C项错误故选：AD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合，则_【答案】【解析】【分析】解不等式求出集合 ,根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意解不等式可得或，则或，解不等式，即且 ，则 ，故，所以，故答案为：.14. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则_.【答案】#【解析】【分析】根据三角函数定义，求得，
10、以及，再结合正切的倍角公式，即可求得结果.【详解】根据题意，解得或或，又是第二象限角，故；则，则.故答案为：.15. 在等式的等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数的积为_.【答案】【解析】【分析】将题意转化为，求最小时的值，再根据基本不等式求解即可.【详解】由题意，即，求最小时的值.因为，当且仅当，即时取等号，此时，.故答案为：16. 对于函数，若在其定义域内存在两个实数，使当时，的值域也是，则称函数为“保值”函数，区间称为函数的“等域区间”.（1）请写出一个满足条件的“保值”函数：_（2）若函数是“保值”函数，则实数k的取值范围是_.【答案】
11、 . . 【解析】【分析】（1）单调函数，定义域与值域一样，固然想到（2）根据判断的单调性，转化为关于的方程的两个实数根.【详解】（1）由题意得方程至少有两个根，设函数（2）因为是增函数，若是“保值”函数，则存在实数，使即所以是关于的方程的两个实数根，从而方程有两个不相等的实数根.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，根据二次函数的图象可知，当且仅当时，直线与曲线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故实数的取值范围是.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数，集合（1）当时，求函数的最大值；（2）记集合，若是的必要条件，求实数
12、a的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出对称轴，再讨论区间与对称轴的关系，即可求解（2）先得到，再分和，分别列出不等式组，求解即可【小问1详解】，对称轴为，当时，在上单调递减，当时，在,上单调递增，在,上单调递减，当时，在,上单调递增，综上所述：【小问2详解】是的充分条件，当时，解得，当时，由题意得方程，即在,上有两个实根，令，则，解得，综上所述：实数的取值范围是18. 已知函数.（1）求证：是奇函数；（2）求证：；（3）若，求，的值【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）， 【解析】【分析】（1）由函数解析式可得，求得函数的定义域关于原点对称再根据，可得是奇
13、函数（2）根据对数的运算法则分别求得，可得要证的等式成立（3）由条件利用（2）的结论可得，由此求得和的值【小问1详解】解：由函数，可得，即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称再根据，可得是奇函数【小问2详解】证明：，而，成立小问3详解】解：若，则由（2）可得，解得， 19. 设（1）求使不等式成立的的取值集合；（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象若不等式在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.（2）根据图象变换
14、可得，从而原不等式可化为在，换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.【详解】解：.（1）即：，所以原不等式的解集为：.（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得；再向右平移个单位，得；最后向下平移个单位得到函数，.设，由可得：，则原不等式等价于：在上恒成立；设，则在递增，在递减，所以，所以【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据正弦函数的性质求与相关的不等式或方程的求解问题另外，含的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒成立问题.20. 如图所示，有一块扇形钢板OPQ，面积是平方米，其所在圆的半径为1米，（1）求扇形圆
15、心角的大小；（2）现在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大.试问如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？【答案】（1） （2）当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米【解析】【分析】（1）利用扇形面积公式列方程，从而求得扇形圆心角的大小.（2）连接，设，将裁下的钢板的面积用来表示，结合三角函数的性质求得面积的最大值以及此时点的位置.【小问1详解】依题意，设，则，即扇形圆心角的大小为.【小问2详解】连接，设，过作，垂足为，在中，所以，设四边形的面积为，则，由于，所以当时，取得最大值为（平方米）.所以当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最
16、大面积为平方米.21. 某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每1件的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；（2）利用你选取的函数，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；（3）设你所选取的函数为，若对任意实数k，关于x的方程恒有两个相异实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2）该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元； （3）【解析】【分析】（1）随着时间的增加，的值先减后增，结合函数的单调性即可得
17、出结论；（2）把点代入中，求出函数的解析式，利用配方法，即可求出该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；（3）由（2）结合题意可得有两个相异的实根，然后由可求出实数m的取值范围.【小问1详解】因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的函数中和都是单调函数，不满足题意，所以选择【小问2详解】把点代入中，得，解得，所以，所以当时，有最小值26，所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；【小问3详解】由（2）可知，所以由，得，即，因为方程有两个相异实数根，所以，所以，因为对任意实数k，上式恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为.22. 设函数.（1）当时，若不等式在上恒成立，求
18、实数的取值范围；（2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，不等式恒成立，当，由条件可得在，上恒成立，进一步得到，求出的范围即可；（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解，设，然后分和两种情况求出的范围【详解】（1）当时，若不等式在，上恒成立；当时，不等式恒成立，则；当，则在，上恒成立，即在，上恒成立，因为在，上单调增，则，解得，；则实数的取值范围为，；（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解；设当时，则，且在，上单调递增，所以，（2），则当时，原方程有解，则；当时，则在，上单调增，在上单调减，在，上单调增；当，即时，（2），则当时，原方程有解，则；当，即时，则当时，原方程有解，则；当时，当，即时，则当时，原方程有解，则；当，即时，则当时，原方程有解，则；综上，当时，实数的取值范围为，；当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为，【点睛】本题考查了函数恒成立问题和函数零点的判定定理，考查了函数最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题
