1、【考点17】二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题2013年考题1.（2013安徽高考）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D） AxDyCOy =kx+ B【解析】选A。不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知， 。2.（2013安徽高考）不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）A. B. C. D. 【解析】选C. 不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为，又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）故.3.（2013福建高考）在平面直角坐标系中，
2、若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（ ）A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】选D.如图可得三线封闭区域即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.4.（2013海南宁夏高考）设x,y满足（ ）（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值【解析】选B. 画出可行域可知，当过点（2，0）时，但无最大值。x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-
3、y+2=0 5. （2013山东卷高考）设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4【解析】选A. 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.6.（2013天津卷高考）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）23【解析】选B. 画出不等式表示的可行域
4、，如右图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。7.（2013湖北高考）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元【解析】选B. 设使用甲型货车x辆，乙型货车y辆.则,求Z=400x+300y最小值.可求出最优解为（4，2）故故选B.8.（2013湖南高考）已知D是由不等式组，
5、所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为（ ）A B C D【解析】选B. 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B。9. （2013陕西高考）若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（ ）w.w.w(A) （，2 ） (B) （，2 ） (C) (D) 【解析】选B. 根据图像判断，目标函数需要与，平行，由图像知a的取值范围是（，2 ）.10. （2013四川高考）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生
6、产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 （ ）A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 【解析】选A. 设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。11.（2013山东高考）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设
7、备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元.【解析】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A类产品 (件)(50) B类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.答案：230012.（2013浙江高考）若实数满足不等式组则的最小值是 【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，答
8、案：413.（2013北京高考）若实数满足则的最小值为_.【解析】如图，当时，为最小值.故应填.答案：14.（2013北京高考）若实数满足则的最大值为 .【解析】.s.5如图，当时，为最大值.故应填9.答案：915.（2013陕西高考）设x，y满足约束条件，目标函数的最小值是 ，最大值是 【解析】画出可行域易得最值. 答案：1 1116.（2013上海高考）已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_. w.w.w.k.s.5【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3
9、269。答案：92012年考题y1（2012山东高考）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（ ）（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9【解析】选C.本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M， 显然，只需要研究过、两种情形。且即yx2（2012广东高考）若变量满足则的最大值是（ ）A90 B80 C70 D40【解析】选C.画出可行域（如图），在点取最大值3.（2012山东高考）设满足约束条件则的最大值为 【解析】本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点分别为验证知在点时取得最大值
10、11.答案：112011年考题1(2011全国) 下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于 表示的平面区域内的点是（ ）ABCD【解析】选C. 位于，表示的平面区域内的点是(1，1)和（1，1），而点(1，1)到直线x-y+1=0的距离为，故选C.2（2011北京高考）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）或【解析】选D。不等式组，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，(，)，第四个不等式，表示的是斜率为1的直线的下方， 当0a1时，表示的平面区域是一个三角形，当a时，表示的平面区域也是一个三角形。3（2011天津高考）设变量满足约束条件则目标函
11、数的最大值为 ( )A.4B.11C.12D.14【解析】选B.易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为、，将代入得到最大值为11.4（2011辽宁高考）已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）ABCD【解析】选A.画出可行域为一三角形，三顶点为C（1，3）、B（1，6）和A（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值。因此的范围为,6.5（2011江苏高考）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为（ ）A B C D【解析】选B。根据平面区域A得0x1,0y1,则可得0x+y1,-1x-y1,画
12、图即得面积为1.6(2011安徽高考) 如果点在平面区域上，点在曲线上，那么 的最小值为（ ）2x-y+2=0x-2y+1=0x+y-2=0 （A）（B）（C）（D）【解析】选A。点在平面区域上，画出可行域如图，点在圆上，那么 的最小值为圆心(0，2)到直线x2y+1=0的距离减去半径1，即为1。 7（2011四川高考）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元. 对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）（A
13、）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元【解析】选B对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润这是最优解法也可用线性规划的通法求解选B注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现2x+y=3x+2y=10x=4y=1xy8(2011山东高考)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_.【解析】画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为答案：9（2011浙江高考）设
14、为实数，若，则的取值范围是 【解析】作图易知,设若不成立;故当且斜率大于等于时方成立. 答案：10(2011陕西高考) 已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为 .【解析】画出可行域知Z在直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点（2，3）处取得最大值8.xyo3x=3x+y+3=0x+y=0x=-211（2011湖北高考）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，令，显然当平行直线过点时，取得最小值为.答案：12(2011湖南高考) 设集合，（1）的取值范围是 ；（2）若，且的最大值为9，则的值是 【解析】（1）由图象可知的取值范围是（2）若
15、令t=，则在（0，b）处取得最大值，所以0+2b=9，所以b=.答案：（1） （2）x+y=2y=3x-y=213(2011福建高考) 已知实数满足则的取值范围是_【解析】画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是-5，7.答案：-5，7.14（2011重庆高考）已知x,y满足，则函数z = x+3y的最大值是_.【解析】画出可行域，当直线过点（1，2）时，答案：715(2011山东高考)本公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，0100200300100200300400500yxlM由题意得目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值联立解得点的坐标为（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元
