1、第二讲等差数列及其前n项和1.2020唐山市摸底考试已知Sn为等差数列an的前n项和,a5 =-2,S15 =150,则公差d =()A.6B.5C.4D.32.2020江西红色七校第一次联考已知等差数列an的前n项和Sn满足S8-S3 =45,则a6的值是()A.3B.5C.7D.93.2020湖北部分重点中学高三测试已知等差数列an满足4a3 =3a2,则an中一定为零的项是()A.a6B.a7C.a8D.a94.2020大同市高三调研若等差数列an的前n项和Sn有最大值,且a11a10-1,则Sn取正值时项数n的最大值为()A.15B.17C.19D.215.2020安徽省示范高中名校联
2、考数学文化题周髀算经中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为()A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺6.2019唐山市高三摸底考试等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a11 =4,则S13 =()A.13B.26C.39D.527.2019广东百校联考已知等差数列an的前n项和为Sn,若a10,S2 =a4,则a5S3 =()A.1B.23C.53D.798.2019福建福州华侨中学期中已知an是等差
3、数列,Sn是其前n项和,且a1 =9,S5 =S9,那么使Sn最大的n是()A.6B.7C.8D.99.2020长春市第一次质量监测已知数列an中,a1 =2,an+1 =2an+2n+1,设bn =an2n.(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列1bnbn+1的前n项和Sn.10.2020唐山市摸底考试已知等差数列an的公差不为0,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则S9S3 =()A.3B.6C.9D.1211.2019江西红色七校第一次联考已知数列an为等差数列,若a2+a6+a10 =2,则tan(a3+a9)的值为()A.0B.33C.1D.312.2019山东
4、三校联考数学文化题“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个求解同余式组的问题,现有这样一个问题:将1到2 018这2 018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则此数列共有()A.98项B.97项C.96项D.95项13.2020成都市测试已知等差数列an前三项的和为-9,前三项的积为-15.(1)求等差数列an的通项公式;(2)若an为
5、递增数列,求数列|an|的前n项和Sn.14.2019湖南永州三模已知数列an是等差数列,其前n 项和为Sn,且满足a1+5a3 =S8 ,给出下列结论:a10 =0;S10最小;S7 =S12;S20 =0.其中一定正确的结论是 ()A.B.C.D.15. 2020南昌市测试已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2 =1,Sn+Sn-2 =2Sn-1+2(n3),则a3的值为.第二讲等差数列及其前n项和1.C解法一因为数列an是等差数列,首项为a1,公差为d,所以a5=a1+4d= - 2,S15=15a1+15142d=150,解得a1= - 18,d=4,故选C.解法二因为数列an是
6、等差数列,所以S15=15a8=150,所以 a8=10,所以3d=a8 - a5=10 - ( - 2)=12,所以d=4.故选C.2.D解法一设等差数列an的公差为d,则S8 - S3=8a1+872d - (3a1+322d)=5a1+25d=45,即a1+5d=9,即a6=9,故选D.解法二因为S8 - S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=45,所以a6=9,故选D.3.A解法一设数列an的公差为d(d0),因为4a3=3a2,所以4(a1+2d)=3(a1+d),所以a1= - 5d,故an=a1+(n - 1)d=(n - 6)d.令(n - 6)d=0,得n=6,故选A.
7、解法二设数列an的公差为d(d0),因为4a3=3a2,所以a3= - 3d.又a3=a1+2d,所以a1= - 5d,故an= - 5d+(n - 1)d.令an=0,得n=6,所以数列an中a6=0.故选A.4.C由等差数列an的前n项和Sn有最大值,且a11a10 - 1,可知等差数列an的公差d0,a110,且a11 - a10,则a10+a110,得2a10=a1+a190,所以S190,由a10+a110,得a1+a20=a10+a110,所以S200Sn0,a1+an0Sn0,S5=S9,所以公差小于零,易知Sn=d2n2+(9 - d2)n(nN*),在坐标系中作出其图象(图略
8、),可知其图象对应的抛物线开口向下且对称轴为直线n=7,故n=7时,Sn最大.故选B.9.(1)当n2时,bn - bn - 1=an2n - an - 12n - 1=an - 2an - 12n=1,又b1=1,所以bn是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)可知,bn=n,所以1bnbn+1=1n - 1n+1,所以Sn=1 - 12+12 - 13+1n - 1n+1=1 - 1n+1=nn+1.10.C解法一设等差数列an的公差为d(d0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3S27,即(9a1+982d)2=(3a1+322d)(27a1+27262d),即(
9、a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),化简得d2=2a1d.因为d0,所以d=2a1,则S9S3=9a1+982d3a1+322d=81a19a1=9,故选C.解法二设等差数列an的公差为d(d0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3S27,即(a1+a9)922=(a1+a3)32(a1+a27)272,即(a1+a1+8d)2=(a1+a1+2d)(a1+a1+26d),化简得d2=2a1d.因为d0,所以d=2a1,则S9S3=(a1+a9)92(a1+a3)32=3(a1+a1+8d)a1+a1+2d=54a16a1=9,故选C.解法三设等差数列an的公差为d(
10、d0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3S27,又S9=9a5,S3=3a2,S27=27a14,所以a52=a2a14,即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),化简得d2=2a1d.因为d0,所以d=2a1,所以S9S3=9a53a2=3(a1+4d)a1+d=27a13a1=9,故选C.11.D因为数列an是等差数列,所以a2+a6+a10=3a6=2,所以a6=6,所以a3+a9=2a6=3,所以tan(a3+a9)=tan3=3.故选D.12.B因为能被3除余1且被7除余1的数就是能被21除余1的数,所以an=21(n - 1)+1,由an=21(n - 1
11、)+12 018,得n2 03821,故此数列共有97项.故选B.13.(1)设数列an的公差为d,则依题意得a2= - 3,则a1= - 3 - d,a3= - 3+d,( - 3 - d)( - 3)( - 3+d)= - 15,解得d2=4,d=2,等差数列an的通项公式为an= - 2n+1或an=2n - 7.(2)由题意及(1)得an=2n - 7,|an|=7 - 2n,n3,2n - 7,n4,当n3时,Sn= - (a1+a2+an)=5+(7 - 2n)2n=6n - n2;当n4时,Sn= - a1 - a2 - a3+a4+an= - 2(a1+a2+a3)+(a1+a
12、2+an)=18 - 6n+n2.综上,数列|an|的前n项和Sn= - n2+6n,n3,n2 - 6n+18,n4.14.C设数列an的公差为d,因为a1+5a3=S8,所以a1+5a1+10d=8a1+28d,所以a1= - 9d.所以an=a1+(n - 1)d=(n - 10)d,所以a10=0,故一定正确.Sn=na1+n(n - 1)d2= - 9nd+n(n - 1)d2=d2(n2 - 19n),所以S7=S12,故一定正确.显然与不一定正确.故选C.15.3当n3时,由Sn+Sn - 2=2Sn - 1+2,得Sn - Sn - 1=Sn - 1 - Sn - 2+2,即an=an - 1+2,所以a3=a2+2=3.
