1、素养提升3高考中数列解答题的提分策略1.2020皖北五校联考,12分设Sn为等比数列an的前n项和,且S3-S2 =2a4.(1)若a1 =1,求an;(2)若a40,求使得8Sn15a1成立的n的取值范围.2.2020湖北八校第一次联考,12分已知数列an和an2n均为等差数列,a1 =12.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn =(-1)n4an+1n(n+1),求数列bn的前n项和Sn.3.2020湖南五市十校联考,12分设数列an的前n项和为Sn,且Sn =2n-1,数列bn满足b1 =2,bn+1-2bn =8an.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列bn的前n项
2、和Tn.4.2020山西大学附属中学校诊断,12分已知等比数列an的前n项和为Sn(nN*),-2S2,S3,4S4成等差数列,且a2+2a3+a4 =116.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn =-(n+2)log2|an|,求数列1bn的前n项和Tn.5.原创题,12分已知正项数列an的前n项和为Sn,a1 =1,Sn2 =an+12-Sn+1,其中为常数.(1)证明:Sn+1 =2Sn+.(2)是否存在实数,使得数列an为等比数列?若存在,求出;若不存在,请说明理由.6.12分已知数列an的前n项和为Sn,a1 =1,且满足Sn =an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列
3、nan的前n项和Tn.7.12分已知数列an的各项均为正数,且an2-2nan-(2n+1) =0,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn =(-1)n-1an,求数列bn的前n项和Tn. 8.原创题,12分在数列an中,已知a1 =1,a2 =2,an+2+an =2(an+1+1).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn =an+1 - an2an+1 - 1n,若数列bn的前n项中的最大项为An,最小项为Bn,cn =An+Bn,求数列cn的前n项和Sn.素养提升3 高考中数列解答题的提分策略1.(1)设an的公比为q,S3 - S2=2a4,a3=2a4,(2分)q=a4a
4、3=12.(3分)又a1=1,an=a1qn - 1=(12)n - 1.(5分)(2)a4=a1(12)30,a10,Sn+10,Sn+1 - 2Sn - =0,Sn+1=2Sn+.(5分)(2)Sn+1=2Sn+,Sn=2Sn - 1+(n2),两式相减,得an+1=2an(n2).(8分)S2=2S1+,即a2+a1=2a1+,a2=1+,由a20,得 - 1.若an是等比数列,则a1a3=a22,(10分)即2(+1)=(+1)2,得=1.(11分)经检验,=1符合题意.故存在=1,使得数列an为等比数列.(12分)6.(1)Sn=an+1,当n=1时,a2=1,当n2时,Sn - 1
5、=an,an=Sn - Sn - 1=an+1 - an(n2),an+1=2an(n2),a1=1,a2=1,不满足上式,数列an是从第二项起的等比数列,公比为2,an=1,n=1,2n - 2,n2.(6分)(2)由(1)知,当n=1时,T1=1,当n2时,Tn=1+220+321+n2n - 2,2Tn=12+221+322+n2n - 1, - Tn=1+21+22+2n - 2 - n2n - 1=1 - 2n - 11 - 2 - n2n - 1,Tn=(n - 1)2n - 1+1.当n=1时也满足上式,综上,Tn=(n - 1)2n - 1+1.(12分)【易错警示】数列的通项
6、an与前n项和Sn的关系式为an=S1(n=1),Sn - Sn - 1(n2),在利用此公式求通项公式时,一定要注意验证a1的值是否满足当n2时所得的数列的表达式.7.(1)由an2 - 2nan - (2n+1)=0得an - (2n+1)(an+1)=0,所以an=2n+1或an= - 1.又数列an的各项均为正数,所以an=2n+1,nN*.(5分)(2)由(1)知an=2n+1,nN*,bn=( - 1)n - 1an=( - 1)n - 1(2n+1),所以Tn=3 - 5+7 - 9+( - 1)n - 1(2n+1),故 - Tn= - 3+5 - 7+9 - +( - 1)n
7、 - 1(2n - 1)+( - 1)n(2n+1), - 得,2Tn=3 - 21 - 1+1 - 1+( - 1)n - 2 - ( - 1)n(2n+1)=3 - 211 - ( - 1)n - 11 - ( - 1) - ( - 1)n(2n+1)=2+( - 1)n - 1 - ( - 1)n(2n+1)=2+( - 1)n - 1(2n+2),所以Tn=1+( - 1)n - 1(n+1).(12分)8.(1)由an+2+an=2(an+1+1),得(an+2 - an+1) - (an+1 - an)=2,又a2 - a1=1,所以an+1 - an是以1为首项,2为公差的等差数
8、列.(2分)所以an+1 - an=1+(n - 1)2=2n - 1,(3分)所以an=an - an - 1+an - 1 - an - 2+a3 - a2+a2 - a1+a1=2n - 3+2n - 5+3+1+1=(1+2n - 3)(n - 1)2+1=n2 - 2n+2.(5分)(2)由(1)知an+1=(n+1)2 - 2(n+1)+2=n2+1,所以bn=an+1 - an2an+1 - 1n=2n - 12n.(6分)所以bn+1 - bn=2n+12n+1 - 2n - 12n=3 - 2n2n+1,当n=1时,bn+1 - bn0,即b1b2;当n2时,bn+1 - b
9、nb3b4.(8分)注意到b1=12,b2=34,b3=58b1,b4=716b1,所以c1=1,c2=54,c3=54,当n4时,cn=34+2n - 12n,所以S1=1,S2=94,S3=72,当n4时,cn=34+2n - 12n=34+2n+12n - 1 - 2n+32n,所以Sn=72+34(n - 3)+(923 - 1124)+(1124 - 1325)+(2n+12n - 1 - 2n+32n)=72+34(n - 3)+923 - 2n+32n=198+3n4 - 2n+32n.(11分)综上所述,Sn=1,n=1,94,n=2,72,n=3,198+3n4 - 2n+32n,n4.(12分)
