1、高考大题专项(二)三角函数与解三角形1.(2020北京海淀一模,16)已知函数f(x)=2cos21x+sin 2x.(1)求f(0)的值;(2)从1=1,2=2;1=1,2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在-2,6上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.2.(2020山东潍坊二模,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,A=3.(1)若B=4,求b;(2)求ABC面积的最大值.3.(2020江苏,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,
2、使得cosADC=-45,求tanDAC的值.4.(2019全国1,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.5.(2020山东潍坊一模,17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且mn.(1)求C;(2)若6c+3b=3a,求sin A.6.已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,S为ABC的面积,sin(B+C)=2Sa2-c2.(1)证明:A=2C;(2)若b=2,且
3、ABC为锐角三角形,求S的取值范围.参考答案高考大题专项(二)三角函数与解三角形1.解(1)f(0)=2cos20+sin0=2.(2)方案一:选条件.f(x)的一个周期为.f(x)=2cos2x+sin2x=(cos2x+1)+sin2x=222sin2x+22cos2x+1=2sin2x+4+1.因为x-2,6,所以2x+4-34,712.所以-1sin2x+41.所以1-2f(x)1+2.当2x+4=-2,即x=-38时,f(x)在-2,6上取得最小值1-2.方案二:选条件.f(x)的一个周期为2.f(x)=2cos2x+sinx=2(1-sin2x)+sinx=-2sinx-142+1
4、78.因为x-2,6,所以sinx-1,12.所以-1f(x)178.当sinx=-1,即x=-2时,f(x)在-2,6上取得最小值-1.2.解(1)由正弦定理得b=asinBsinA=23sin4sin3=22.(2)因为ABC的内角和A+B+C=,A=3,所以0B23.因为b=asinAsinB=4sinB,所以SABC=12absinC=43sinBsin23-B=43sinB32cosB+12sinB=6sinBcosB+23sin2B=23sin2B-6+3.因为0B23,所以-62B-676.当2B-6=2,即B=3时,ABC面积取得最大值33.3.解(1)在ABC中,因为a=3,
5、c=2,B=45,由余弦定理,得b2=9+2-232cos45=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理,得5sin45=2sinC,所以sinC=55.(2)在ADC中,因为cosADC=-45,所以ADC为钝角,而ADC+C+CAD=180,所以C为锐角.故cosC=1-sin2C=255,则tanC=sinCcosC=12.因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinADCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADCtanC=-34+121-3412=21
6、1.4.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.5.解(1)因为mn,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)s
7、inB,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.因为C(0,),故C=3.(2)由(1)知B=23-A,由题设及正弦定理得6sinC+3sin23-A=3sinA,即22+32cosA+12sinA=sinA,可得sinA-3=22.因为0A23,所以-3A-33,所以cosA-3=22,故sinA=sinA-3+3=sinA-3cos3+cosA-3sin3=6+24.6.(1)证明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sinA=2Sa2-c2,得sinA=bcsinAa2-c2,又sinA0,bc=
8、a2-c2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则bc=b2-2bccosA,又b0,c=b-2ccosA,由正弦定理得sinC=sinB-2sinCcosA,即sinC=sin(A+C)-2sinCcosA=sin(A-C),又0A,0C,A=2C.(2)解A=2C,B=-3C,sinB=sin3C,asinA=bsinB,且b=2,a=2sin2Csin3C,S=12absinC=2sin2CsinCsin(2C+C)=2sin2CsinCsin2CcosC+cos2CsinC=2tan2CtanCtan2C+tanC=4tanC3-tan2C=43tanC-tanC,ABC为锐角三角形,则A0,2,B0,2,C0,2,即2C0,2,-3C0,2,解得C6,4,tanC33,1,S=43tanC-tanC为增函数,S32,2.
