1、第三讲直线、平面平行的判定及性质 1.2020长春市第一次质量监测已知a,b,c为三条不同的直线,为三个不同的平面,则下列说法正确的是()a,b,则ab;,则;a,b,则ab;,则.A.B.C.D.2.2020惠州市一调设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a,aB.存在一条直线a,a,aC.存在两条平行直线a,b,a,b,a,bD.存在两条异面直线a,b,a,b,a,b3. 2019广东广州三模如图8-3-1,在三棱锥A-BCD中,AB =CD =a,M,N,P,Q分别在棱AC,BC,BD,AD(不包含端点)上,AB,CD均平行于平面MNPQ,
2、图8-3-1则四边形MNPQ的周长是()A.4a B.2a C.3a2 D.周长与截面的位置有关4.2019沈阳市第三次质量监测新角度题下列三个命题在“()”处都缺少同一个条件,补上这个条件可使这三个命题均为真命题(其中l,m为两条不同的直线,为两个不同的平面),则此条件是.lmm()l ;mlm()l ;lmm()l .5.2020江西红色七校第一次联考如图8-3-2,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB =AA1 =2,E,F 分别为AB,B1C1的中点.(1)求证:B1E平面ACF ;(2)求三棱锥B1-ACF 的体积.图8-3-26.2020成都市高三摸底测试如图8-3-3,在四棱锥
3、P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PA =PD,AB =AD,PAPD,ADCD,BAD =60,M,N分别为AD,PA的中点.(1)证明:平面BMN平面PCD.(2)若AD =6,求三棱锥P-BMN的体积.图8-3-37.2019江西名校高三质检如图8-3-4,在四棱锥S-ABCD中,SDA =2SAD =90,BAD+ADC =180,AB =12CD,点F 是线段SA上靠近点A的三等分点,AC与BD相交于点E.(1)在线段SB上作出点G,使得平面EF G平面SCD,请指明点G的具体位置,并用阴影部分表示平面EF G,不必说明平面EF G平面SCD的理由;(2)若SA =SB =2,
4、AB =AD =BD =2,求点F 到平面SCD的距离.图8-3-48.新角度题如图8-3-5,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,ADC =120,SAD是等边三角形,平面SAD平面ABCD,E,F 分别是SC,AB上的一点.(1)若E,F 分别是SC,AB的中点,求证:BE平面SF D. (2)当SEEC为多少时,三棱锥S-BDE的体积为16?图8-3-59.2019惠州市一调如图8-3-6,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC.(2)设AP =1,AD =3,三棱锥P-ABD的体积V =34,求点A到平
5、面PBC的距离.图8-3-610.2019南昌市重点中学高三模拟如图8-3-7,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF 是矩形,且平面ABCD平面CDEF ,BAD =CDA =90,AB =AD =DE =12CD =2,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使AC平面MDF ,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面MDF 将几何体ABCDEF 分成的上、下两部分的体积之比.图8-3-7第三讲直线、平面平行的判定及性质1.D中,由a,b,利用线面垂直的性质定理可推出ab,故正确;中,由,得与平行或相交,故不正确;中,由a,b,得a与b平行或相交或异面,故不正确;中,由,利用面面平行
6、的传递性可推出,故正确.综上所述,的说法正确,故选D.2.D对于A,若a,a,则平面,可能平行,也可能相交,所以A不是的一个充分条件.对于B,若a,a,则平面,可能平行,也可能相交,所以B不是的一个充分条件.对于C,由ab,a,b,a,b可得或,相交,所以C不是的一个充分条件.对于D,存在两条异面直线a,b,a,b,a,b,如图D 8 - 3 - 4,在内过b上一点作ca,则c,所以内有两条相交直线平行于,则有,所以D是的一个充分条件,故选D.图D 8 - 3 - 43.B设AMCM=k.因为AB平面MNPQ,平面ABC平面MNPQ=MN,AB平面ABC,所以MNAB,同理可得PQAB,MQC
7、D,NPCD,故四边形MNPQ为平行四边形,所以MNAB=PQAB=11+k,MQCD=NPCD=k1+k.因为AB=CD=a,所以MN=PQ=a1+k,MQ=NP=ak1+k,所以四边形MNPQ的周长为MN+PQ+MQ+NP=2(a1+k+ak1+k)=2a.故选B.4.l体现的是线面平行的判定定理,缺少的条件是“l为平面外的一条直线”,即“l”,“l”也适用于和,故此条件是l.5.(1)取AC的中点M,连接EM,FM.在ABC中,因为E,M分别为AB,AC的中点,所以EMBC且EM=12BC.又F为B1C1的中点,B1C1BC且B1C1=BC,所以B1FBC且B1F=12BC,即EMB1F
8、且EM=B1F.故四边形EMFB1为平行四边形,所以B1EFM.又FM平面ACF,B1E平面ACF,所以B1E平面ACF.(2)设O为BC的中点,连接AO,因为三棱柱底面是正三角形,所以AO=3,且易知AO丄平面BCC1B1.于是V三棱锥B1 - ACF=V三棱锥A - B1CF=13SB1CFAO=1312123=33.6.(1)连接BD,如图D 8 - 3 5图D 8 - 3 - 5.AB=AD,BAD=60,ABD为正三角形.M为AD的中点,BMAD.又ADCD,CD平面ABCD,BM平面ABCD,BMCD.又BM平面PCD,CD平面PCD,BM平面PCD.M,N分别是AD,PA的中点,
9、MNPD.又MN平面PCD,PD平面PCD,MN平面PCD.又BM平面BMN,MN平面BMN,且BMMN=M,平面BMN平面PCD.(2)由(1)知BMAD.平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BM平面ABCD,BM平面PAD.又AD=6,BAD=60,BM=33.M,N分别是AD,PA的中点,PA=PD=22AD=32,PMN的面积SPMN=14SPAD=1412(32)2=94.三棱锥P - BMN的体积V三棱锥P - BMN=V三棱锥B - PMN=13SPMNBM=13943 3=934.7.(1)用阴影部分表示平面EFG如图D 8 - 3 - 6所示,点G为线段SB
10、上靠近点B的三等分点.图D 8 - 3 - 6(2)依题意得,SDA=90,SAD=45,故SD=AD=2.又SA=SB=2,所以SB2=SD2+BD2,所以SDDB.又DA平面ABCD,DB平面ABCD,且DADB=D,所以SD平面ABCD.因为SD平面SCD,所以平面SCD平面ABCD.如图D 8 - 3 - 7,作EHCD于点H.图D 8 - 3 - 7因为平面SCD平面ABCD=CD,所以EH平面SCD.由(1)可知EF平面SCD,所以EH即为点F到平面SCD的距离.在ABD中,设AB边上的高为h,则h=62.易知EDBD=ECAC=23,所以EH=23h=63,即点F到平面SCD的距
11、离为63.8. (1)如图D 8 - 3 - 8,取SD的中点G,连接FG,GE.图D 8 - 3 - 8因为E,F,G分别是SC,AB,SD的中点,所以EGCD且EG=12CD,BF=12AB.又四边形ABCD是菱形,所以ABCD且AB=CD,所以EGBF且EG=BF, 所以四边形FBEG为平行四边形,所以BEFG.又BE平面SFD,FG平面SFD,所以BE平面SFD.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,ADC=120,所以SBCD=1223=3.因为SAD是等边三角形,所以在SAD中,AD边上的高为3.又平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,所以SAD的高即三棱锥S
12、- BCD的高,所以V三棱锥S - BCD=1333=1.又V三棱锥S - BDE=16,所以V三棱锥S - BDEV三棱锥S - BCD=SSDESSDC=SESC=16.所以当SEEC=15时,三棱锥S - BDE的体积为16.【素养落地】本题考查了线面位置关系的证明和线段比的探究,要求考生能熟练掌握并灵活应用有关的性质、定理,考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.9.(1)设BD交AC于点O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解法一V=16PAABAD=36AB,由V
13、=34,可得AB=32.作AHPB交PB于点H.由题设易知BC平面PAB,又AH平面PAB,所以BCAH.又BCPB=B,BC,PB平面PBC,故AH平面PBC,又PB=AP2+AB2=132,AH=PAABPB=31313,所以点A到平面PBC的距离为31313.解法二V=16PAABAD=36AB,由V=34,可得AB=32.由题设易知BC平面PAB,得BCPB.假设点A到平面PBC的距离为d,因为PB=PA2+AB2=132,所以V三棱锥A - PBC=13123132d=3912d.又V三棱锥P - ABC=13123231=34,V三棱锥A - PBC=V三棱锥P - ABC,所以d
14、=31313.【技巧点拨】点到平面的距离问题是高考的热点问题,可以利用三棱锥的特点,用等体积法求解.10.(1)当点M是线段AE的中点时,AC平面MDF.理由如下:如图D 8 - 3 - 9,连接CE,交DF于点N,连接MN.因为M,N分别是AE,CE的中点,所以MNAC.因为MN平面MDF,AC平面MDF,所以AC平面MDF.图D 8 - 3 - 9 (2)如图D 8 - 3 - 9,将几何体ABCDEF补成三棱柱ADE - B1CF,易知三棱柱ADE - B1CF的体积V三棱柱ADE - B1CF=SADECD=12224=8,则几何体ABCDEF的体积V几何体ABCDEF=V三棱柱ADE - B1CF - V三棱锥F - BB1C=8 - 1312222=203.三棱锥F - DEM的体积V三棱锥F - DEM=1312224=43,故平面MDF将几何体ABCDEF分成的上、下两部分的体积之比为43(203 - 43)=14.
