1、江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）考试时间：120分钟；试卷分值：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.圆和圆的位置关系是( )A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离【答案】C【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d，然后求出Rr和R+r的值，判断d与Rr及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系【详解】把圆x2+y22x0与圆x2+y2+4y0分别化为标准方程得：（x1）2+y21，x2+（y+2）24，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，2），半径分别为R2和r1，圆心之间的距
2、离，则R+r3，Rr1，RrdR+r，两圆的位置关系是相交故选C【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.2.“”是“为2与8的等比中项”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等比中项公式及充分必要条件判断求解【详解】解：是两个正数2和8的等比中项，故是的充分不必要条件，即“”是“为2与8的等比中项”的充分不必要条件，故选【点睛】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个3.下列命题中，不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，
3、则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，又，由不等式的性质得，A选项中的不等式正确；对于B选项，若，则，B选项中的不等式正确；对于C选项，取，则，C选项中的不等式不成立；对于D选项，则，则，D选项中的不等式正确.故选C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的方法有：不等式的基本性质、特殊值法、比较法，在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法，考查推理能力，属于中等题.4.在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和
4、公式可得，由等差数列的性质可知，结合已知可得，即可判断【详解】解：等差数列中，且满足，由等差数列的性质可知，首项，公差，则的最大项为故选C【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题5.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案【详解】解：，当且仅当即，时等号成立，有解，即，解得，或，故选：B【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查“1”的代换，属于基础题6. 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC9
5、0，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），设是平面DEF的一个法向量，则即，取x1, 则，设PA与平面 DEF所成的角为，则 sin考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算在计算问题中，有“几何法”和“向量法”利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则简化了证明过程7.双曲线
6、的一个焦点与抛物线的焦点重合，若这两曲线的一个交点满足轴，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程得点坐标，得；根据轴可知既是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半，从而可得的关系；通过构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：，即轴 为抛物线通径长的一半 又为双曲线通径长的一半，即 由得：，解得：（舍）或本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题.8.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，P共
7、线，可得取最大值【详解】由题意，点F为椭圆的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，设椭圆C的右焦点为，即最大值为5，此时Q，P共线，故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式成立的条件,可分别判断四个选项是否满足最小值为2.【详解】对于A,且,满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知,当且仅
8、当,即时取等号,所以A正确;对于B, ,且.满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知.当且仅当,即时取等号,因为所以取不到等号,即B错误;对于C, ,且.满足都是正数且乘积为定值. 由基本不等式可知.当且仅当,即时取等号,因为方程无解,所以取不到等号,即C错误;对于D, 且,满足都是正数且乘积为定值. 由基本不等式可知.当且仅当,即时取等号 ,所以D正确;综上可知最小值是2的函数有AD故答案为: AD【点睛】本题考查了根据基本不等式求函数的最值,注意”一正二定三相等”的成立条件,属于基础题.10.下面命题正确的是（ ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”
9、.C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件D. 设，则“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误【详解】解：对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；对于C，“且” “”， “且” 是 “”的充分条件，故C错；对于D，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对；故选：ABD【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题11.如图,在
10、棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )A. 平面B. 平面平面C. 直线与直线所成角的大小为D. 【答案】ABD【解析】【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ONPD，所以只需证明PDPB，利用勾股定理证明即可.【详解】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以ON,由线面平行的判定定理可得，平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MNAB,又底面为正方形，所以MNCD，由线
11、面平行的判定定理可得，CD平面OMN,又选项A得平面，由面面平行的判定定理可得，平面平面；选项C,因为MNCD，所以 PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以 PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又ON，所以，故ABD均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确12.将个数排成行列的一个数阵，如下图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的
12、个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，可得，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；又由，所以选项B不正确；又由，所以选项C是正确的；又由这个数的和为，则 ，所以选项D是正确的，故选ACD.【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n项和公式的应用，其中解答中合理利用等
13、比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“x0R, ”为假命题，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题得“x0R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式，解不等式即得解.【详解】由题得“x0R, ”为真命题,所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查特称命题否定，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.点满足，则点P的轨迹为_，离心率为_【答案】 (1). 椭圆 (2). 【解析】【分析】直接根据椭圆的第二定义即可得出
14、结论【详解】解：，点到定点的距离与到定直线的距离之比为，点的轨迹为椭圆，其离心率为，故答案为：椭圆，【点睛】本题主要考查椭圆的第二定义的应用，属于基础题15.设双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M、N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由题意可得为等腰直角三角形，设，则，结合双曲线的定义可得，再由勾股定理可得离心率【详解】解：如图，设为线段的中点，由题意可得为等腰直角三角形，为直角三角形，设，则，由双曲线的定义可得，又，则，在中，由勾股定理可得，即，离心率，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查计算能力，属于
15、中档题16.已知圆，点是圆上一动点，若在圆上存在点，使得，则正数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】分析可得满足，结合条件可得圆与圆内切，从而可得答案【详解】解：要使最大，考虑点在圆外，若在圆上存在点，使得，当直线与圆相切时，有最大值，即，则满足，又点是圆上一动点，由图可知，圆与圆内切，即，故答案为：【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查推理能力，考查数形结合思想，属于中档题四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知集合，集合，.（1）若“”是真命题，求实数取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式即得a的取值范
16、围；（2）先化简B,由题得是的真子集，解不等式组得解.【详解】解：（1）若“”是真命题，则，得.（2），若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，即，即，得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知椭圆的长轴长为，短轴长为(1)求椭圆方程；(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长【答案】(1)；(2) ，.【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；（2）设以点P（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出k，然后求出直线方程，联立解方
17、程组，求出A，B，再求出|AB|【详解】(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，得，所以， 所以椭圆方程为 (2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.在椭圆上，所以， 两式相减可得，所以的斜率为， 点为中点的弦所在直线方程为. 由，得，所以或，所以【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用19.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系
18、；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？【答案】（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润35万元【解析】【分析】（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【详解】解：（1）由题意知，年总收入万元年维护总费用为万元.总利润，即，（2）年平均利润为，当且仅当，即时取“”答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了
19、数学建模能力，考查了数学运算能力.20.如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二
20、面角的正弦值.【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示空间直角坐标系，因为，所以，所以，设是平面的法向量，所以，设是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.21.设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由可求出，根据定义求出数列的公比，从而可求出；（2）由
21、题意得，再用错位相减法求和即可【详解】解：（1）当时，=4；当时，且亦满足此关系，的通项为，设的公比为，则，则，；（2）由题意，而，两式相减，有，【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于中档题22.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；求面积的最大值.【答案】(1).(2) 证明见解析，；.【解析】试题分析：（1）首先由题意得到，即.将代入可得，由，可得.得解.（2）（）注
22、意从确定的表达式入手，探求使成立的.设，则，得到，根据直线BD的方程为，令，得，即.得到.由，作出结论.（）直线BD的方程，从确定的面积表达式入手，应用基本不等式得解.试题解析：（1）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（2）（）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（）直线BD的方程，令，得，即，由（）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.
