1、第6讲 抛物线 基础题组练1(2019高考全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8，故选D.2(2020河北衡水三模)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|10，则x1x2()A6 B5C4 D3解析：选A.根据抛物线的定义，知|，|，|分别等于点A，B，C到准线x1的距离，所以由|10，可得2x11x2110，即x1x26.故选A.3(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克
2、森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A. m B mC. m D m解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线的解析式为x22py，p0，因为抛物线过点(6，5)，所以3610p，可得p，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m故选D.4(2020河南安阳三模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AAl，垂足为A.若四边形AAPF的面积为14，且cosFAA，则抛物线C的方程为()Ay2x By22xCy24x Dy
3、28x解析：选C.过点F作FFAA，垂足为F.设|AF|3x，因为cosFAA，故|AF|5x，则|FF|4x，由抛物线定义可知，|AF|AA|5x，则|AF|2xp，故x.四边形AAPF的面积S14，解得p2，故抛物线C的方程为y24x.5已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. BC. D解析：选D.设抛物线C：y28x的准线为l，易知l：x2，直线yk(x2)恒过定点P(2，0)，如图，过A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|
4、AF|，所以|OB|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k0，所以点B的坐标为(1，2)，所以k.故选D.6以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为_解析：由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4.答案：47过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|AB|，则l的斜率为_解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AAm，NN
5、m，BBm，垂足分别为A，N，B.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB|BF|，|AA|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|AB|，所以|NN|(|BB|AA|)(|BF|AF|)|AB|MN|，所以MNN60，则直线MN的倾斜角为120.又MNl，所以直线l的倾斜角为30，斜率是.答案：8(一题多解)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x
6、2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24，由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k，取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.答案：29已知过抛物
7、线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y20)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.(1)求；(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率k.解：(1)设直线AB的方程为ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22pkxp20，则所以y1y2，所以x1x2y1y2p2.(2)由x22py，知y，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，所以直线AM的方程为yy1(xx1)，直线BM
8、的方程为yy2(xx2)，则可得M.所以kMF，所以直线MF与AB相互垂直由弦长公式知，|AB|x1x2|2p(k21)，用代替k得，|CD|2p，四边形ACBD的面积S|AB|CD|2p2p2，解得k23或k2，即k或k.6已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，因为点N在以AB为直径的圆上，所以ANBN，所以1，所以p2.(2)易得直线AN：yy1(xx1)，直线BN：yy2(xx2)，联立，得结合式，解得即N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则ABN的面积SABN|AB|d2，当k0时，取等号，因为ABN的面积的最小值为4，所以24，所以p2，故抛物线C的方程为x24y.
