1、第17讲排列、组合与二项式定理高考年份全国卷全国卷全国卷2020利用二项式定理求展开式中项的系数T8计数原理综合应用T14利用二项式定理求展开式中的常数项T142019利用二项式定理求展开式中项的系数T42018组合的应用T15利用二项式定理求展开式中项的系数T51.2019全国卷(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.242.2020全国卷x+y2x(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.203.2020全国新高考卷6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则
2、不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种4.2020全国卷4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.5.2018全国卷从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)6.2020全国卷x2+2x6的展开式中常数项是(用数字作答).排列、组合的基本问题1(1)甲、乙等4人排成一排,则甲、乙两人不相邻的排法种数为()A.24B.12C.6D.4(2)为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A,B,C三个贫
3、困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24种B.36种C.48种D.64种(3)安排3名志愿者完成5项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.60种B.90种C.150种D.300种(4)为抗击某次疫情,我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组,则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有1人的选派方法种数是.【规律提炼】对于有限制条件、特殊条件的排列、组合应用题,要灵活运用直接法、特殊元素优先法、捆绑法、插空法、定序法、间接法、隔板法等.对于“至少”或“至多”的问
4、题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与遗漏.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法求解而分类情况复杂时,考虑逆向思维,用间接法求解.测题1.为抗击新冠病毒,某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要,每地至少需安排一名专家,其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作,丙、丁两名专家不能安排在同一地工作,则不同的分配方法种数为()A.18B.24C.30D.362.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各2节,自习课1节的功课表,其中上午5节课,下午2节课,若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻(注意:上午第五节和下午第一节不算相邻),则不同
5、的排法种数是()A.84B.54C.42D.183.已知整数数列an共5项,其中a1=1,a5=4,且对任意iN*且1i4,都有|ai+1-ai|2,则符合条件的数列个数为.二项式定理及其应用2(1)x2+2x6的展开式中的常数项为()A.240B.480C.448D.228(2)(1-x)x+1x+24的展开式中含x项的系数是()A.10B.2C.-14D.34(3)已知(x2-x+a)(2x-1)5(aR)的展开式中各项系数之和为-1,则展开式中x的系数为.(4)已知(x+a)2020=a0+a1x+a2x2+a2020x2020(a0),则展开式中二项式系数最大的项是第项;若(a0+a2
6、+a2020)2-(a1+a3+a2019)2=1,则a=.【规律提炼】近几年高考试题中二项式定理的内容大多与展开式的系数有关,常考点有利用通项求xn的系数、常数项、有理项(无理项)等,还有运用赋值法求项的系数和,求系数的最大项或最小项,总体难度不大.测题1.二项式x2-1xn展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开式的常数项是()A.-15B.-20C.15D.202.在xx-14x6的展开式中,x52的系数为()A.1532B.1516C.516D.-5163.(1-x)2(1+y)5的展开式中含xy2项的系数是.4.若(2-x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a16(
7、1+x)16+a17(1+x)17,则:a0+a1+a2+a16=;a1+2a2+3a3+16a16=.第17讲排列、组合与二项式定理真知真题扫描1.A解析因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,所以展开式中x3的系数为C43+2C41=12.2.C解析由题知展开式中含x3y3的项为xC53x2y3+y2xC51x4y=15x3y3,所以x3y3的系数为15,故选C.3.C解析甲场馆有C61种安排方法,乙场馆有C52种安排方法,丙场馆有C33种安排方法,总共有C61C52C33=60(种)安排方法.4.36解析将4名同学按人数分为2,1,1三组,再全排列,则不同的安排
8、方法共有C42A33=36(种).5.16解析方法一:分两种情况,即3人中1女2男的选法有C21C42种,3人中2女1男的选法有C22C41种.据分类加法计数原理知,不同的选法共有C21C42+C22C41=16(种).方法二:从6人中任选3人有C63种选法,若3人均为男生有C43种选法,所以至少有1位女生入选的不同选法有C63-C43=16(种).6.240解析展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6-r2xr=C6r2rx12-3r,令12-3r=0,得r=4,所以展开式中的常数项为C6424=65216=240.考点考法探究小题1例1(1)B(2)B(3)C(4)611解析(1)方法一:
9、先排除甲、乙外两人有A22种排法,再插空排甲、乙有A32种排法,故共有A22A32=12(种)排法.故选B.方法二:4人排成一排,共有A44=24(种)排法,甲、乙两人相邻有A22A33=12(种)排法,因此甲、乙两人不相邻的排法种数为A44-A22A33=12.故选B.(2)当按照311进行分配时,有C31A33=18(种)不同的派遣方案;当按照221进行分配时,有C32A33=18(种)不同的派遣方案.故共有36种不同的派遣方案,故选B.(3)按每个人工作的项数,分成两种情况:第一种情况,项数为1,1,3,有C53C21C11A22A33=60(种)不同的安排方式;第二种情况,项数为2,2
10、,1,有C52C32C11A22A33=90(种)不同的安排方式.故不同的安排方式共有150种.故选C.(4)选出1名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、3名护士的选派方法种数是C31C41C53=120;选出1名呼吸内科医生、2名急诊重症科医生、2名护士的选派方法种数是C31C42C52=180;选出2名呼吸内科医生、1名急诊重症科医生、2名护士的选派方法种数是C32C41C25=120;选出2名呼吸内科医生、2名急诊重症科医生、1名护士的选派方法种数是C32C42C51=90;选出1名呼吸内科医生、3名急诊重症科医生、1名护士的选派方法种数是C31C43C51=60;选出3名呼吸内科医生、1
11、名急诊重症科医生、1名护士的选派方法种数是C33C41C51=20;选出的5人中没有护士的选派方法种数是C75=21.综上所述,选派方法种数为120+180+120+90+60+20+21=611.【自测题】1.C解析由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作,可以将甲、乙两名专家看成一个整体,所以相当于只有四名专家.先计算四名专家中有两名在同一地工作的分配方法种数,即从四名专家中选两名作为一个整体和其余两名看成三个元素的全排列,有C42A33种分配方法.又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作,所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的分配方法种数A33,所以不同的分配方法种数有C42A33-A33=
12、36-6=30,故选C.2.C解析根据题意,分两种情况进行讨论:语文课和数学课都安排在上午,要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻,将2节语文课和2节数学课分别捆绑,然后在剩余3节课中选1节到上午,由于2节英语课不加以区分,因此排法种数为C31A22A33A22=18;语文课和数学课一个安排在上午,一个安排在下午,2节语文课不加以区分,2节数学课不加以区分,2节英语课也不加以区分,因此排法种数为C21A44A22=24.综上所述,共有18+24=42(种)不同的排法.故选C.3.52解析因为a1=1,a5=4,所以设x1=a2-a1,x2=a3-a2,x3=a4-a3,x4=a5-a4,
13、所以x1+x2+x3+x4=a5-a1=3,可设x1x2x3x4,因为ai+1-ai-2,-1,0,1,2,所以x1,x2,x3,x4的所有可能组合为-2,1,2,2,-1,1,1,2,-1,0,2,2,0,0,1,2,0,1,1,1,共五组,所以符合条件的数列个数为C42C21+C42C21+C42C21+C42C21+C41=52.小题2例2(1)A(2)C(3)-9(4)10112解析(1)x2+2x6展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k2xk=2kC6kx12-3k,令12-3k=0,解得k=4,可得常数项为T5=24C64=1615=240.故选A.(2)由题意得(1-x)x
14、+1x+24=(1-x)x2+1+2xx4=(1-x)(x+1)8x4=(x+1)8x4-(x+1)8x3,又(x+1)8的展开式的通项为Tr+1=C8rx8-r,所以(x+1)8x4的展开式中含x的项为C83x5x4=C83x,-(x+1)8x3的展开式中含x的项为-C84x4x3=-C84x,所以(1-x)x+1x+24的展开式中含x项的系数是C83-C84=-14.故选C.(3)令x=1,可得(x2-x+a)(2x-1)5展开式的各项系数之和为a15=-1,a=-1,(x2-x+a)(2x-1)5=(x2-x-1)(2x-1)5=x2(2x-1)5-x(2x-1)5-(2x-1)5,故(
15、x2-x-1)(2x-1)5展开式中含x的项为(-x)(-1)5-C542x(-1)4=-9x.故展开式中x的系数为-9.(4)由二项式系数的性质得,C20201010最大,所以展开式中二项式系数最大的项是第1011项.令x=1,得(1+a)2020=a0+a1+a2+a2020,令x=-1,得(-1+a)2020=a0-a1+a2-a3+a2020,而(a0+a2+a2020)2-(a1+a3+a2019)2=(a0+a1+a2+a2020)(a0-a1+a2-a3+a2020)=(1+a)2020(-1+a)2020=(1+a)(-1+a)2020=(a2-1)2020=1,解得a=2.【
16、自测题】1.C解析因为二项展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以n=6,所以展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6-k-1xk=(-1)kC6kx12-3k,令12-3k=0得k=4,所以展开式中的常数项是(-1)4C64=15.故选C.2.B解析由题意可知,要求x52的系数,只需求x-14x6的展开式中x2的系数.因为x-14x6展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-14xr=C6r-14rx6-2r,所以当r=2时,T3=C62-142x2=1516x2,故x52的系数为1516.3.-20解析(1-x)2的展开式中含x项的系数为-2.(1+y)5的展开式中含y2项的系数为C52,故
17、(1-x)2(1+y)5的展开式中含xy2项的系数是-20.4.217+117(1-216)解析(2-x)17=3-(1+x)17的展开式的通项为Tr+1=C17r317-r(-1)r(1+x)r,由T18=C1717-(1+x)17=-(1+x)17,可得a17=-1.令1+x=1,即x=0,可得a0+a1+a2+a16+a17=217,所以a0+a1+a2+a16=217-a17=217+1.令g(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a16(1+x)16+a17(1+x)17=(2-x)17,则g(x)=a1+2a2(1+x)+16a16(1+x)15+17a17(1+x)16=-17(2-x)16,则g(0)=a1+2a2+16a16+17a17=-17216,由(1)可得17a17=-17,所以a1+2a2+3a3+16a16=-17216+17=17(1-216).
