1、第1讲弧度制与任意角的三角函数考试要求1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求知 识 梳 理1角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限(3)终边相同的角：与角的终边相同的角的集合为|k360，kZ2弧度制的定
2、义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 续表各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快5
3、分钟，则分针转过的角度是30.()(4)若，则tan sin .()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角(3)顺时针旋转得到的角是负角(5)终边相同的角不一定相等答案(1)(2)(3)(4)(5)2若角与角的终边相同，则在0,2内终边与角终边相同的角是_解析由题意知，2k，kZ，kZ，又0,2，k0，；k1，；k2，；k3，.答案，3(必修4P15习题6改编)若tan 0，sin 0，得在第一或第三象限，又sin 0)，所在圆的半径为R.(1)若90，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是
4、一定值C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则90，R10，l105(cm)，S弓S扇S5101022550(cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇R22.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.考点三三角函数的概念【例3】 (1)(2017扬州一中月考)已知角的终边与单位圆x2y21交于点P，则cos 2_.(2)(2017泰州模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_(3)若sin tan 0，且0，即m.(3)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，由0，可知cos ，
5、tan 异号，从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案(1)(2)(3)三规律方法(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围【训练3】 (1)(2017无锡期末)已知角的终边与单位圆的交点P，则sin tan _.(2)满足cos 的角的集合为_解析(1)由|OP|2y21，得y2，y.当y时，sin
6、 ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.答案(1)(2)思想方法1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧易错防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间
7、角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况基础巩固题组(建议用时：30分钟)1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题的个数为_解析是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确40036040，从而正确31536045，从而正确答案32已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第_象限解析由题意知tan 0，cos 0，是第二象限角答案二3(2017苏州期末)已知角的终边经过点P(4，m)，且sin ，则
8、m_.解析sin ，解得m3.答案34.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_解析在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为(kZ)答案(kZ)5设P是角终边上一点，且|OP|1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是_解析由已知P(cos ，sin )，则Q(cos ，sin )答案(cos ，sin )6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得答案7点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin
9、.答案8设是第三象限角，且cos ，则是第_象限角解析由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角答案二9若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为_解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，.答案10已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.解析由题意知，tan 2，即sin 2cos ，将其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21.答案11给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个
10、角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则实数a的取值范围是_解析cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.答案(2,3能力提升题组(建议用时：15分钟)13已知圆O：x2y24与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为，则tan _.解析圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan 1.答案114(2017泰州模拟)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _.解析因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x，解得x3，所以ta
11、n .答案15函数y的定义域为_解析2sin x10，sin x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)答案(kZ)16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析如图，作CQx轴，PQCQ, Q为垂足根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ2，|CQ|cossin 2，|PQ|sincos 2，所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2，P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2，所以P点的坐标为(2sin 2,1cos 2)，故(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
