1、第十四单元 直线与平面及简单几何体一.选择题(1) 有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为( )A0 B1C2D3(2)下列命题中正确的个数是 ( ) 四边相等的四边形是菱形; 若四边形有两个对角都是直角, 则这个四边形是圆内接四边形; “平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”; 若两平面有一条公共直线, 则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 (3) 已知直线及平面，下列命题中的假命题是 ( )A若，则. B若，则.C
2、若，则.D若，则.(4) 木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的 ( )A60倍 B60倍 C120倍 D120倍(5) 已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题： 若；若；若；若a与b异面，且相交； 若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是( )A1B2C3D4(6) 在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )ABC/平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC(7) 如图, 四边形ABCD中, ADBC, AD=AB, BCD=45, BAD=90. 将ADB沿BD折
3、起, 使平面ABD平面BCD, 构成三棱锥A-BCD. 则在三棱锥A-BCD中, 下列命题正确的是 ( )ABCDABCDA 平面ABD平面ABC B 平面ADC平面BDCC 平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC (8) 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面AB C1D1的距离为 ( )A B C D ABCDP （第8题图 ） （第9题图 ） （第10题图 ） (9)如图正四面体D-ABC中, P面DBA, 则在平面DAB内过点P与直线BC成60角的直线共有 ( )A 0条 B 1条 C 2条 D 3条(10) 如图，在多面体ABCDEF中，
4、已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( )ABCD二.填空题(11) 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 .(12)已知直线m、n和平面、满足: , m, mn, 则n与之间的位置关系是_(13) 如图，正方体的棱长为，将该正方体沿对角面切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为_ (14) 已知平面和直线，给出条件：；. （i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.（填所选条件的序号）三.解答题(15) 如图，正三棱锥SABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积
5、等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：（）的值；（）二面角SBCA的大小；（）正三棱锥SABC的体积 (16) 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.（1）证明：； （2）求底面中心到侧面的距离. (17) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点. （）求证ACBC1；（）求证AC1/平面CDB1；（）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.ABCDA1B1C1M(18)在斜三棱柱A1B1C1-ABC中, 底面是等腰三角形, AB=AC, 侧面BB1C1C底面ABC.()若D是BC的中点, 求证:ADCC1;()过侧面B
6、B1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M, 若AM=MA1, 求证:截面MBC1侧面BB1C1C;() AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗? 请你叙述判断理由.参考答案一选择题: 1.C 解析：正确 2.B 解析：错误，因为这个四边形可能是空间四边形；正确；3.D 解析： 反例：长方体上底面的两条相交棱，都平行于下底面，但这两条棱不平行。4.C 解析：木星的体积约是地球体积的倍，则它的半径约是地球半径的倍（体积比是半径比的立方）故表面积约是地球表面积的120倍（面积比是半径比的平方）5.A 解析： 正确6.C 解析：由DF/BC可得BC/平面PDF，故A正确。若PO平面AB
7、C，垂足为O，则O 在AE上，则DFPO，又DFAE故DF平面PAE，故B正确。由DF平面PAE可得，平面PAE平面ABC，故D正确。7.D 解析：在四边形ABCD中, ADBC, AD=AB, BCD=45, BAD=90 BDCD 又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD 故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB 故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC8.B 解析：A1B1/平面AB C1D1的中点，E到平面AB C1D1 的距离等于A1到平面AB C1D1的距离，而A1到平面AB C1D1的距离等于A1到直线AB1的距离，即.9. 解析： 在平面DAB内过点与直线BC成6
8、0角的直线共有条，故在平面DAB内过点与直线BC成60角的直线共有条。G10.C解析： 如图，把原多面体分成一个直三棱柱和两个三棱锥，DC它们的底面正方形ABCDBAGB=，1直三棱柱的体积为1，两个三棱锥的体积和为原多面体的体积为 二填空题: 11. 4解析：一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为 截面圆的半径为1， 故球的半径为，球的表面积为412. n或 n解析： 已知直线m、n和平面、满足: , m, m, 又mn,故n或 n13. 解析： 新四棱柱的表面是四个正方形，与两个矩形（长为，宽为1）故全面积为14. 解析：若，则； 若，则。三解答题(15) 解：（）SB=SC，AB=
9、AC，M为BC中点，SMBC，AMBC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即（）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，SMBC，AMBC，SMA是二面角SBCA的平面角.在RtSGM中，SMA=SMG=60，即二面角SBCA的大小为60。（）ABC的边长是3，(16 证明（1）取边的中点，连接、， 则，故平面. . 解（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角. 过点作为垂足，则就是点到侧面的距离. 设为，由题意可知点在上， ，., ， ， . 即底面中心到侧面的距离为3. (17) 解法一： （）直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC=3，BC
10、=4，AB=5，ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，ACBC1.（）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点，DE/AC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1/平面CDB1.（）DE/AC1，CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，ED=异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B
11、1（0，4，4），D（，2，0）.（）（）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）.（）异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为(18) ()证明: AB=AC, D是BC的中点, ADBC. 底面ABC平面BB1C1C, AD侧面BB1C1C. ADCC1. ()延长B1A1与BM交于N, 连结C1N. AM=MA1, NA1=A1B1. A1B1=A1C1, A1C1= A1N=A1B1. C1NC1B1. 截面N B1C1侧面BB1C1C, C1N侧面BB1C1C. 截面C1N B侧面BB1C1C. 截面MBC1侧面BB1C1C.()解: 结论是肯定的, 充分性已由(2)证明, 下面证必要性: 过M作MEB C1于E, 截面MBC1侧面BB1C1C, ME侧面BB1C1C. 又AD侧面BB1C1C, MEAD. M, E, A, D共线. A M侧面BB1C1C, AMDE. CC1AM, DECC1. D是BC的中点, E是BC1的中点. AM= DE=CC1=AA1. AM= MA1.10
