1、第九节 函数模型及其应用 【知识梳理】1.几类常见的函数模型 函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a0)反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)kx函数模型 函数解析式 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a0)2.三种函数模型的性质 函数 性质 y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+)上的增减性 单调_ 单
2、调_ 单调递增 增长速度 越来越_ 越来越_ 相对平稳 递增 递增 快 慢 函数 性质 y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)图象的 变化 随x的增大逐渐表现为与_平行 随x的增大逐渐表现为与_平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当xx0时,有logaxxn0)”型函数模型 形如f(x)=x+(a0)的函数模型称为“对勾”函 数模型:(1)该函数在(-,-和 ,+)上单调递 增,在-,0)和(0,上单调递减.(2)当x0时,x=时取最小值2 ,当x0时,x=-时取最大值-2 .axaxaaaaaaaa【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修1P107习题3.2A
3、组T1改编)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x B.y=log2x C.y=(x2-1)D.y=2.61cosx x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.6112【解析】选B.由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8,不合要求,B中y=log23(1,2),C中y=(32-1)=4,不合要求,D中y=2.61cos30).写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;求羊群年增长量的最大值;当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值
4、范围.【解题导引】(1)根据图象信息,确定函数解析式.(2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率 为 ,故空闲率为1-.建立函数模型后,利用函数的 最值求羊群年增长量的最大值.xmxm【规范解答】(1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得 解得 则当x=6时,y=.答案:10kb,3010kb,20702070kbyx9999，所以，19091909(2)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 ,故空闲率为1-,由此可得y=kx (0 xm);对原二次函数配方,得y=-(x2-mx)即当x=时,y取得最
5、大值 ;xmxmx1m()km2kmkmx.m24()m2km4由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即0 x+ym.因为当x=时,ymax=,所以0 +m,解得-2k0,所以0k2.m2km4km4m2【母题变式】1.若将本例(2)“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”,又如何表示出y关于x的函数解析式?【解析】根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 ,故空闲率为1-,因为羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成反比,由此可得y=xmxmk.xx(1)m2.若本例(2)牧场中羊群的最大蓄养量为10000只
6、,实际蓄养量为8000只,比例系数为k=1,则此时的年增长量为多少?【解析】由题意,可知y=kx(1-)(0 xm),此时m=10000,x=8000,k=1,代入计算可得y=18000(1-)=1600.故此时羊群的年增长量为1600只.xm8 00010 000【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点:二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.(2)以分段函数的形
7、式考查.解决此类问题应关注以下三点:实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏;分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.提醒:1.构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.2.对构建的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.【变式训练】(2016日照模拟)“活水围网”养鱼技 术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼 的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度
8、x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为 2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数,当x达到20 尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0 x20时,求函数v关于x的函数解析式.(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0 x4时,v=2;当4x20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在(4,20内是减函数,由已知得 20ab0,4ab2,解得 1a,85b,2 15vx82v2 0 x4,15x,4x20.82所以 ，故函数(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1
9、)可得f(x)=当0 x4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=42=8;22x,0 x4,15xx,4x2082，222max1514x20f xxxx20 x828125x1082f xf 1012.5.当时，所以当00),当x=25时,有3025-500-k =0k=50,故y=30 x-500-50 (0100时,y=30 x-500-50 -200=30 x-50 -700,所以 x25xxx*30 x50 x500(0 x100,xN),y30 x50 x700(x 100,xN).(2)设每张门票至少需要a元,则有20a-50 -500020a502 +500a 5
10、+2552.24+25=36.2,又a取整数,故取a=37.所以每张门票至少需要37元.20554.(2016保定模拟)经市场调查,某商品在过去100天 内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量 近似地满足g(t)=-t+(1t100,tN).前40天 价格为f(t)=t+22(1t40,tN),后60天价格为 f(t)=-t+52(41t100,tN),试求该商品的日销 售额S(t)的最大值和最小值.1213141123【解析】当1t40,tN时,2211121S tg t f t(t)(t22)3341112 22t2t12312 500t121232 500768S 40S t
11、S 12.3 ，所以当41t100，tN时，22111215S tg t f tt)(t)33221112 5218t36tt1086363(，所以8=S(100)S(t)S(41)=.所以,S(t)的最大值为 ,最小值为8.1 49122 5003考向二 函数y=x+模型的应用【典例2】(2016泰安模拟)某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.ax(1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.(2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于5吨时,其价格
12、可享受八五折优惠(即原价的85%).问:该场是否应考虑利用此优惠条件?请说明理由.【解题导引】(1)根据条件设x天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少,构造“对勾函数”求解.(2)根据题意利用函数的单调性求解.【规范解答】(1)设该场x(xN*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少,平均每天支付的总费用为y1.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.03=6(元),所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)(元).从而有y1=(3x2-3x+300)+2001.8=+3x+357 417,当且仅当 =3x,即x=10时,y1有最小值.
13、故该场 10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.1x300 x300 x(2)设该场利用此优惠条件,每隔x天(x25)购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y2,则y2=(3x2-3x+300)+2001.80.85=+3x+303(x25).令f(x)=+3x(x25),1x300 x300 x因为f(x)=-+3,所以当x25时,f(x)0,即函数f(x)与y2在x25时是增函数.所以当x=25时,y2取得最小值,最小值为390.因为390417,所以该场应考虑利用此优惠条件.2300 x【规律方法】应用函数y=x+模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函
14、数 f(x)=叠加而成的.(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+的模 型,有时可以将所列函数解析式转化为f(x)=ax+的形 式.axbxbxbx易错提醒:(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义 域.(2)利用模型f(x)=ax+求解最值时,注意取得最值时 等号成立的条件.bx【变式训练】近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电 设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单 位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳 能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后
15、该 企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)=(x0,k为常数).记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和.k20 x100(1)试解释C(0)的实际意义,并建立y关于x的函数关系式.(2)当x为多少平方米时,y取得最小值?最小值是多少万元?【解析】(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时,该企业每年消耗的电费.由C(0)=24,得k=2400,所以 k1002 4001 800y150.5x0.5xx0.20 x100 x5，(2)因为 当且
16、仅当 =0.5(x+5),即x=55时取等号,所以当x为55平方米时,y取得最小值,为57.5万元.1 800y0.5 x52.52 1 800 0.52.557.5x5，1 800 x5【加固训练】1.(2016绵阳模拟)利民工厂某产品的年产量在150吨 至250吨之间,年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y=-30 x+4000,则每吨的 成本最低时的年产量为()A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨 2x10【解析】选B.依题意,得每吨的成本为 则 当且仅当 即x=200时取等号,因此,当每吨成本最低时,年产量为200吨.yx4 00030 x
17、10 x，yx 4 00023010 x10 x，x4 00010 x，2.(2016临沂模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横 断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60(如图),考虑防 洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积 为9 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的 腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其 33腰长x的范围为()A.2,4 B.3,4 C.2,5 D.3,5【解析】选B.根据题意知,其中 所以 得BC=由 得2x6.19 3ADBC h2，x3ADBC2BCxhx22，139 32BCxx22，18x
18、x2，3hx3,218xBC0,x2 所以y=BC+2x=(2x6),由y=10.5,解得3x4.因为3,42,6),所以腰长x的范围是3,4.183xx2183xx23.(2016安庆模拟)为响应中央号召.某市2016年计划 投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造 后预计该市在一个月内(以30天计),民族文化旅游人数 f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似满足f(x)=,人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近 似满足g(x)=104-|x-23|.14 1x()(1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1x30,xN*)的函数解析式.(2)若以最低日收益的
19、15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.【解析】(1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=(104-|x-23|)(1x30,xN*).(2)p(x)=当1x23时,p(x)=(81+x)14 1x()*14 181x(1x23,xN),x14 1127x(23x30,xN).x()()14 1x()81814 82x4 822 x400 xx()()，当且仅当x=,即x=9时,p(x)取得最小值400.当23600,所以600万元的投资可以在两年内收回.考向三 指数函数与对数函数模型【典例3】(1)(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位:
20、小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是()A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时(真题溯源:本题源自A版必修1P103例4)(2)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子 的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v=5log2 ,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.试计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是 多少?Q10【解题导引】(1)把题设中两组时间与温度的值代
21、入函数解析式,利用方程思想解题.(2)令0=5log2 ,求出Q;将Q=80代入公式求解.Q10【规范解答】(1)选C.由题意得 当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3eb=192=24.bb11k22k be192,192e,1e,48e,2解得312()(2)由题意知,当燕子静止时,它的速度为0,代入题目所给公式可得0=5log2 ,解得Q=10,即燕子静止时的耗氧量为10个单位.Q10将耗氧量Q=80代入公式得v=5log2 =5log28=15(m/s),即当一只燕子的耗氧量为80个单位时,它的飞行速度为15m/s.8010【规律方法】应用指数函数模型的关注点(1)指数函数模型
22、的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.【变式训练】某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则经过5小时,1个病毒能繁殖为 个.【解析】当t=0.5时,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2,当t=5时,y=e10ln2=210=1024.
23、答案:1024 1k2e【加固训练】1.(2016湛江模拟)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-b t(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.【解析】当t=0时,y=a;当t=8时,y=ae-8b=a,故e-8b=.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=ae-bt=a,e-bt=(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案:16 121218182.(2016唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14
24、.4万元,购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问:大约使用多少年后,花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元?【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4.化简得:x-60.9x=0,令f(x)=x-60.9x.因为f(3)=-1.3740,所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点.故大约使用4年后,花费在该车上的费用达到14.4万元.3.某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种 食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品
25、生产厂家 提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政 府补贴为t元/千克,根据市场调查,当16x24时,这 种食品日供应量p万千克、日需量q万千克近似地满足 关系:p=2(x+4t-14)(t0),q=24+8ln .当p=q时的市 场价格称为市场平衡价格.20 x(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域.(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克?【解析】(1)由p=q得2(x+4t-14)=24+8ln (16x 24,t0),即 因为t=0,所以t是x的减函数.所以tmin=20 x13120txln(16x24).24x114x131201201524ln ln ln;242422426tmax=所以值域为 131205516ln ln,24162415 55ln,ln.26 24(2)由(1)知t=(16x24).而当x=20时,t=1.5(元/千克),因为t是x的减函数,所以欲使x20,必须t1.5(元/千克).要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元/千克.131 20 xln24x1312020ln 2420
