1、第三章DISANZHANG导数应用习题课导数的综合应用课后篇巩固提升A组1.已知函数f(x)=ex-3,g(x)=1+ln x,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为()A.-ln 2B.ln 2C.2D.-2解析令t=f(m)=g(n),则em-3=t,1+ln n=t,m=3+ln t,n=et-1,即n-m=et-1-3-ln t.若h(t)=et-1-3-ln t,则h(t)=et-1-(t0),令h(t)=0,有t=1,当0t1时,h(t)1时,h(t)0,h(t)是增加的,h(t)min=h(1)=e0-3-ln 1=-2,即n-m的最小值为-2.故选D.答案D2.已知函数f(x
2、)=的定义域为R,则实数m的取值范围是()A.(-1,+)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-,1)解析已知函数f(x)=的定义域为R,等价于ex-x+m=0无解.设g(x)=ex-x+m,则g(x)=ex-1,当x0时,g(x)0时,g(x)0,g(x)是增加的,g(x)min=g(0)=1+m.ex-x+m=0无解,1+m0,m的取值范围是(-1,+).故选A.答案A3.对一切实数x,不等式x4+ax2+10恒成立,则实数a的取值范围是()A.-2,2B.0,2C.-2,+)D.-4,+)解析当x=0时,10成立,当x0时,x20,不等式x4+ax2+10恒成立,转化为a.令t=x2(t
3、0),f(t)=-t-,f(t)=-1+.当f(t)0时,0t1,当f(t)1,当t=1时,f(t)max=-2,即=-2.a-2.答案C4.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于()A.2B.1C.-1D.-2解析a,b,c,d成等比数列,ad=bc.又(b,c)是函数y=3x-x3的极大值点,c=3b-b3,且0=3-3b2.(舍去).ad=2.答案A5.函数f(x)=x3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为1,+),并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,则a的取值范围是()A.(0,+)B.(-,0)C
4、.D.解析设h(x)=x3-x2+a-x2+3x,则h(x)=x2-4x+3=(x-3)(x-1),所以当x(1,3)时,h(x)是减少的;当x(3,+)时,h(x)是增加的.当x=3时,函数h(x)取得最小值.因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方,则有h(x)min0,即h(3)=a0,所以a的取值范围是(0,+).答案A6.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=.解析f(x)=+2bx+1,由题意得解得a=-.答案-7.已知x(0,+),不等式ax+eaxln x+x恒成立,则实数a的最小值为.解析设f(x)=x+ex,显然f(x)是增函数,不
5、等式ax+eaxln x+x变形为ax+eaxln x+eln x,即f(ax)f(ln x),所以axln x,所以a.令g(x)=,则g(x)=,当0x0,g(x)是增加的,当xe时,g(x)0,得x1;令f(x)0,得10,可得x,令f(x)0,可得-3x,函数f(x)的递增区间为(-,-3)和,递减区间为.10.设函数f(x)=x3-6x+5,xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围;(3)已知当x(1,+)时,f(x)k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.解(1)f(x)=3x2-6,令f(x)=0,解得x1=
6、-,x2=,当x时,f(x)0;当-x时,f(x)0.f(x)的递增区间为(-,-)和(,+);f(x)的递减区间为(-).当x=-时,f(x)有极大值,为5+4,当x=时,f(x)有极小值,为5-4.(2)由(1)知函数y=f(x)的图像大致形状如图所示.当5-4a1,kx2+x-5在(1,+)上恒成立.令g(x)=x2+x-5,g(x)=2x+10(x1),g(x)在(1,+)上是增加的.g(x)g(1)=-3.k的取值范围是(-,-3.B组1.函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2 017,对任意xR,都有f(x)x2+2 013的解集为()A.(-2,2)B.(-2,+)C.(-,-
7、2)D.(-,+)解析令F(x)=f(x)-x2-2 013,则F(x)=f(x)-2x0,F(x)在R上是减少的.又F(-2)=f(-2)-4-2 013=2 017-2 017=0,当xF(-2)=0.不等式f(x)x2+2 013的解集为(-,-2).答案C2.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的递减区间是(-1,1),则a的取值集合是.(2)若f(x)在区间(-1,1)上是减少的,则a的取值集合是.解析f(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).(1)f(x)的递减区间为(-1,1),-1和1是方程f(x)=0的两根.=1.a=0
8、,即a的取值集合为0.(2)f(x)在区间(-1,1)上是减少的,f(x)0,f(x)=1-,函数f(x)在定义域上是增加的,f(x)0,即a2x-x2=-(x-1)2+1.-(x-1)2+11(当x=1时,取等号)a的取值范围是1,+).(2)g(x)=ex,由(1)得a=2时,f(x)=x-2ln x-+1,f(x)在定义域上是增加的,又f(1)=0,当x(0,1)时,f(x)0.当x(0,1)时,g(x)0,当x(1,+)时,g(x)0.当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=-e.4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+1在区间(-,-2上是增加的,在区间-2,2上是减少的,且b0.
9、(1)求f(x)的表达式;(2)设0m2,若对任意的x,xm-2,m,不等式|f(x)-f(x)|16m恒成立,求实数m的最小值.分析(1)先由条件得f(-2)=0,再由范围控制求得b.(2)关键是|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min,进而转化为求函数在m-2,m上的最值即可.解(1)f(x)=x3+bx2+cx+1,f(x)=3x2+2bx+c.f(x)在区间(-,-2上是增加的,在区间-2,2上是减少的,方程f(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根x1,x2,且x1=-2,x22.x1+x2=-,x1x2=,x2=-+2.-+22.b0.已知b0,b=0.x2=2
10、,c=-12.f(x)=x3-12x+1.(2)对任意的x,xm-2,m,不等式|f(x)-f(x)|16m恒成立,等价于在区间m-2,m上,f(x)max-f(x)min16m.f(x)=x3-12x+1,f(x)=3x2-12.由f(x)=3x2-120,解得-2x2.f(x)的递减区间为-2,2.0m2,m-2,m-2,2.f(x)在区间m-2,m上是减少的,f(x)max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,f(x)min=f(m)=m3-12m+1,f(x)max-f(x)min=(m-2)3-12(m-2)+1-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16.f(x)max-f(x)min16m,-6m2+12m+1616m,3m2+2m-80,解得m-2,或m.00.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.解(1)f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,x(0,+),f(x)=2a2x+a-.a0,x0,0,当x时,f(x)0,函数f(x)在上是减少的,在上是增加的.(2)y=f(x)的图像与x轴没有公共点,函数f(x)在(0,+)上没有零点,由(1)可得函数f(x)在上是减少的,在上是增加的,f=3-3ln=3+3ln a0,ln a-1,a,即实数a的取值范围是.
