1、第7讲 解三角形应用举例一、选择题1在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50，且到A的距离为2，C点的俯角为70，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A. B.C. D.解析 因BAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABACcos BAC49223cos 12019.BC.答案 D2如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是()A，a，b B，aCa，b， D，b解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案A3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度
2、沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是 ()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案A4. 如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()A30 B45 C60 D75解析依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCA
3、D，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案B5如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析 由题意，得B30.由正弦定理，得，AB50(m)答案 A 6. 如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，ta
4、n 45，AE(m)，CM10(2)37.3(m)答案C二、填空题7如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(米)答案108如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.解析由
5、题知，CBA75，BCA45，BAC180754560，.x m.答案 m9. 在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30，且座位A，B的距离为10米，则旗杆的高度为_米解析由题可知BAN105，BNA30，由正弦定理得，解得AN20(米)，在RtAMN中，MN20 sin 6030(米)故旗杆的高度为30米答案3010. 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周
6、围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()三、解答题11如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为
7、多少n mile?解 (1)设t小时后，两船在M处相遇，由tan，得sin，cos，所以sinAMBsin(45).由正弦定理，AM40，同理得BM40.t，m15.(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|15t，|BQ|10t.由任意角三角函数的定义，可得即点P的坐标是(15t,15t)，即点Q的坐标是(10t,20t40)，|PQ|20，当且仅当t4时，|PQ|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.12如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距
8、40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解如题图所示，在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故BC20(海里)由正弦定理得，所以sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.易知ACB30，故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.13如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C
9、，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离解(1)在CDE中，DCE3609015105150，SCDEDCCEsin 150sin 30(平方百米)(2)连接AB，依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(百米)，在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(百米)cos 15cos(6045)cos 60cos 4
10、5sin 60sin 45，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得AB2()2()222，AB百米14某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10(海里)，此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
